总体:研究对象某项指标的全部。
样本:所研究对象若干个体,称为样本。记作 ( x 1 , x 2 , … ) (x_1,x_2,\ldots) (x1,x2,…)
如果
称 ( x 1 , x 2 , … , x n ) (x_1,x_2,\dots,x_n) (x1,x2,…,xn)为简单随机样本。
统计量:称 ( x 1 , x 2 , … , x n ) (x_1,x_2,\dots,x_n) (x1,x2,…,xn)样本的无参函数为统计量。
e g eg eg: x 1 , x 2 , x 3 3 \frac{x_1,x_2,x_3}{3} 3x1,x2,x3 ✓ ✓ ✓ \quad x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ✓ x_1^2+x_2^2+x_3^2✓\quad x12+x22+x32✓ a x 1 + x 2 + x 3 ✗ ax_1+x_2+x_3✗ ax1+x2+x3✗
重要统计量
1.样本均值
x ˉ = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n \bar x=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} xˉ=nx1+x2+⋯+xn
2.样本方差
S 2 = 1 n ∑ i − 1 n ( x i 2 − x ˉ ) 2 S^2=\frac{1}{n}\sum_{i-1}^{n}{(x_i^2-\bar x)^2} S2=n1i−1∑n(xi2−xˉ)2
3.样本的 k k k阶原点矩
A k = 1 n ∑ i = 1 n x i k ( k = 1 , 2 , 3 , … ) A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i^k}\quad(k=1,2,3,\dots) Ak=n1i=1∑nxik(k=1,2,3,…)
统计量的分布称为抽样分布
定义: x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\dots,x_n x1,x2,…,xn独立同分布于 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),称
x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 = z ∼ χ 2 ( n ) x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2=z \sim \chi^2(n) x12+x22+⋯+xn2=z∼χ2(n)
性质:
( 1 ) x ∼ N ( 0 , 1 ) , 则 x 2 ∼ χ 2 ( 1 ) (1)\quad x\sim N(0,1),则x^2\sim \chi^2(1) (1)x∼N(0,1),则x2∼χ2(1)
( 2 ) X ∼ χ 2 ( m ) , Y ∼ χ 2 ( n ) , X 和 Y 相 互 独 立 , 则 X + Y ∼ χ 2 ( m + n ) (2)\quad X\sim \chi^2(m),Y\sim \chi^2(n),X和Y相互独立,则X+Y \sim \chi^2(m+n) (2)X∼χ2(m),Y∼χ2(n),X和Y相互独立,则X+Y∼χ2(m+n)
( 3 ) x ∼ χ 2 ( n ) , 则 E x = n , D x = 2 n (3)\quad x\sim \chi^2(n),则Ex=n,Dx=2n (3)x∼χ2(n),则Ex=n,Dx=2n
例:设 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3是来自总体 N ( 0 , 4 ) 的 样 本 , 已 知 N(0,4)的样本,已知 N(0,4)的样本,已知 a x 1 2 + b ( 2 x 2 + x 3 ) 2 ∼ χ 2 ( n ) ax_1^2+b(2x_2+x_3)^2\sim\chi^2(n) ax12+b(2x2+x3)2∼χ2(n),求 a , b , n a,b,n a,b,n的值
解: x 1 ∼ N ( 0 , 4 ) ⟹ x_1\sim N(0,4) \Longrightarrow x1∼N(0,4)⟹ x 1 2 \frac{x_1}{2} 2x1 ∼ N ( 0 , 1 ) \sim N(0,1) ∼N(0,1)
2 x 2 + x 3 ∼ N ( 0 , 20 ) ⟹ 2x_2+x_3 \sim N(0,20) \Longrightarrow 2x2+x3∼N(0,20)⟹ 2 x 1 + x 3 20 \frac{2x_1+x_3}{\sqrt{20}} 202x1+x3 ∼ N ( 0 , 1 ) \sim N(0,1) ∼N(0,1)
∵ \because ∵ x 1 2 , 2 x 1 + x 3 20 \frac{x_1}{2} ,\frac{2x_1+x_3}{\sqrt{20}} 2x1,202x1+x3 独立
∴ \therefore ∴ 1 4 \frac{1}{4} 41 x 1 2 + x_1^2+ x12+ ( 2 x 1 + x 3 ) 2 20 ∼ χ 2 ( 2 ) \frac{(2x_1+x_3)^2}{20}\sim\chi^2(2) 20(2x1+x3)2∼χ2(2)
∴ a = 1 4 b = 1 20 n = 2 \therefore a=\frac{1}{4}\quad b=\frac{1}{20} \quad n=2 ∴a=41b=201n=2
例: X ∼ t ( 2 ) , X 2 服 从 什 么 分 布 X\sim t(2),X^2服从什么分布 X∼t(2),X2服从什么分布
解: ∃ U ∼ N ( 0 , 1 ) , V ∼ χ 2 ( 2 ) , U , V 相 互 独 立 \exist U\sim N(0,1),V\sim \chi^2(2),U,V相互独立 ∃U∼N(0,1),V∼χ2(2),U,V相互独立
X = U V / 2 X=\frac{U}{\sqrt{V/2}} X=V/2U
X 2 = U 2 V / 2 X^2=\frac{U^2}{V/2} X2=V/2U2
∵ U 2 ∼ χ 2 ( 1 ) , V ∼ χ 2 ( 2 ) , 且 U 2 与 V 独 立 \because U^2\sim \chi^2(1),V\sim \chi^2(2),且U^2与V独立 ∵U2∼χ2(1),V∼χ2(2),且U2与V独立
∴ X 2 = U 2 / 1 V / 2 ∼ F ( 1 , 2 ) \therefore X^2=\frac{U^2/1}{V/2}\sim F(1,2) ∴X2=V/2U2/1∼F(1,2)