0-1背包问题入门小结 动态规划(DP)经典题目 POJ324 POJ1276

        最近在做背包问题,今天写点东西总结一下。

        背包问题,常见的有三种类型:基本的0-1背包、完全背包和多重背包、二维背包 

        首先是基本的0-1背包问题。因为这里的物品一般指花瓶、玉器什么的,要么拿、要么不拿,只有0和1两种状态,所以也叫0-1背包。0-1背包虽然简单,却很重要,是“万法之源”,是其他几类问题的基础。 

        初学者有时会认为,0-1背包可以这样求解:计算每个物品的Vi/Wi,然后依据Vi/Wi的值,对所有的物品从大到小进行排序。其实这种贪心方法是错误的。如下表,有三件物品,背包的最大负重量是50,求可以取得的最大价值。 

        其实,0-1背包是DP的一个经典实例,可以用动态规划求解。

DP求解过程可以这样理解:对于前i件物品,背包剩余容量为j时,所取得的最大价值(此时称为状态3)只依赖于两个状态。

状态1:前i-1件物品,背包剩余容量为j。在该状态下,只要不选第i个物品,就可以转换到状态3。

状态2:前i-1件物品,背包剩余容量为j-w[i]。在该状态下,选第i个物品,也可以转换到状态3。

因为,这里要求最大价值,所以只要从状态1和状态2中选择最大价值较大的一个即可。 

状态转换方程:

dp( i,j ) = Max( dp( i-1, j ), dp( i-1, j-w[i] ) + v[i] )

dp( i,j )表示前i件物品,背包剩余容量为j时,所取得的最大价值。 

        还是结合上面的例子来说明吧。有三件物品,背包的最大负重量是50,求可以取得的最大价值。下图表示了DP自上而下的求解过程。

编程实现:

       一般来说,有了状态方程,直接编程实现就game over。dp( i,j ),用一个二维数组来实现,然后用一个两层循环就可以了。不过,有时选择的物品很多,背包的容量很大,这时要用二维数组往往是不现实的。这里有一个方法,可以进行空间压缩,然后使用一维数组实现。

       还是结合上面的例子,有三件物品,背包的最大负重量是5,求可以取得的最大价值。为了方面说明,物品weight依次为:1,2,3。二维数组下的求解顺序,物品数1--->n, 背包容量1--->w。如图,要使用一维数组,背包容量要采用倒序,即w--->1, 只有这样对于方程dp( j ) = Max( dp( j ), dp (j-w[i] ) + v[i] ),才能达到等式左边才表示i,而等式右边表示i-1的效果。POJ对于题目:3624。下面附代码。

        完全背包和多重背包。有了基本的0-1背包基础,下面的东西也就好理解了。 完全背包,指每个物品有无限多个。 多重背包,指每个物品的数量是有限的。当然,这时的问题不再是拿与不拿,而是拿多少的问题,当然不能超过背包容量。 

状态转换方程:

dp( i,j ) = Max( dp( i-1, j ), dp( i-1, j-k*w[i]) + k*v[i] ) ( 0 <= k <= c/ w[i] )

编码实现:

如果直接编码,用三层循环,往往会超时。这样有一种很有效的压缩方式:二进制压缩。把原来的物品按照2的n次方进行重新组合。用1、2、4、8…进行组合,可以组合出任意的数字。POJ题目:1276


POJ3624

#include 
using namespace std;

//***********************常量定义*****************************

const int MAX_NUM = 3500;
const int MAX_WEIGHT = 14000;

//*********************自定义数据结构*************************



//********************题目描述中的变量************************

int weight[MAX_NUM];
int value[MAX_NUM];


//**********************算法中的变量**************************

//进行空间压缩,使用一维数组
int dp[MAX_WEIGHT];


//***********************算法实现*****************************

void Solve( int n, int w )
{	
	for( int i=1; i<=n; i++ )
	{
		//因为使用了一维数组,所有j要按照递减顺序
		for( int j=w; j>=weight[i]; j-- )
		{			
			if( dp[j-weight[i]] + value[i] > dp[j] )
				dp[j] = dp[j-weight[i]] + value[i];			
		}
	}
	cout << dp[w] << endl;
}


//************************main函数****************************

int main()
{
	//freopen( "in.txt", "r", stdin );	

	int n, w;
	cin >> n >> w;		

	for( int i=1; i<=n; i++ )
	{
		cin >> weight[i] >> value[i];
	}
	Solve( n, w );
	
	return 0;
}

POJ1276

#include 
using namespace std;

//***********************常量定义*****************************

const int MAX_NUM = 1005;
const int MAX_CASH_REQUEST = 100005;


//*********************自定义数据结构*************************




//********************题目描述中的变量************************

int cashRequest;
int cashKind;


//**********************算法中的变量**************************
//dp[i][j]表示前i个物件,cashRequest == j时,所能获得的最大金额
int dp[MAX_CASH_REQUEST];
//使用二进制压缩,形成的新物件
int cnt;
int value[MAX_NUM];


//***********************算法实现*****************************

void Solve()
{
	//采用0-1背包求解
	for( int i=1; i<=cnt; i++ )
	{		
		for( int j=cashRequest; j>=value[i]; j-- )
		{
			dp[j] = dp[j] > dp[j-value[i]] + value[i] ? dp[j] : dp[j-value[i]] + value[i];
		}				
	}
	cout << dp[cashRequest] << endl;
}


//************************main函数****************************

int main()
{
	//freopen( "in.txt", "r", stdin );
	
	while( cin >> cashRequest >> cashKind )
	{
		//输入
		for( int i=1; i<=cashKind; i++ )
		{
			int num, deno;
			cin >> num >> deno;
			
			//二进制压缩
			for( int j=1; j<=num; j*=2 )
			{
				value[++cnt] = deno * j;
				num -= j;
			}				
			if( num > 0 )	value[++cnt] = num * deno;			
		}

		//处理
		Solve();
		
		//清空全局变量
		cnt = 0;
		memset( value, 0, sizeof(value) );
		memset( dp, 0, sizeof(dp) );
	}	

	return 0;
}



 

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