欧几里得算法、拓展欧几里得算法解青蛙约会问题

青蛙约会问题:

POJ_1061 写道
      两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4

采用欧几里得算法和拓展欧几里得算法解决该问题,算法步骤如下:

1.问题可描述为:(m-n)*t+p*L=y-x,令a=m-n,b=y-x.

a*t+p*L=b

2.于是化为解决求a * x + b * y = n的整数解的问题。

 

  • 先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解;否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a' * x + b' * y = n',此时Gcd(a',b')=1;
  • 利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0,则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解;
  • 根据数论中的相关定理,可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为:

x = n' * x0 + b' * t

 

y = n' * y0 - a' * t(t为整数)

 

  • 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

以下为欧几里得算法和拓展欧几里得算法的原理,引自木瓜的博客:

欧几里得算法:

 

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数,则有d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r,因此d是(b,a mod b)的公约数;

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则d | b , d |r ,但是a = kb +r,因此d也是(a,b)的公约数;

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为: 

 

int Gcd(int a, int b)
{
     if(b == 0)
          return a;
       return Gcd(b, a % b);
}

 

当然你也可以写成迭代形式:

 

int Gcd(int a, int b)
{
      while(b != 0)
      {
          int r = b;
      b = a % b;
        a = r;
      }
      return a;
}

拓展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现:

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
     if(b == 0)
     {
          x = 1;
          y = 0;
          return a;
     }
     int r = exGcd(b, a % b, x, y);
     int t = x;
     x = y;
     y = t - a / b * y;
   return r;
}

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