如何求解图像变换的矩阵

1、问题描述

已知两张图像A,B，求解从图像A到图像B的变换矩阵？

2、平移（translation）

2.1 均值法

首先找到两张图像中的特征点

然后计算点的位移：

再计算 n 个点的平均值，这里假设平移的距离为，则

2.2 最小二乘（Least Square）法

对于任一特征点（xi，yi) 有

定义残差：

所有点的残差和为：

如果把特征点坐标放在坐标中，上面的问题等同于最小二乘问题

使残差平方和最小也可以用矩阵表示：

找到 t 使

最小。

最后可以求解得到：

 

3 仿射变换（Affine transformations）

仿射变换的一般表达式：

上式中有6个未知数，2个代数等式，所以最少需要3个点。

残差表达式：

代价函数（cost function） 为：

用矩阵表示：

为了代价函数最小，也可以使用线性回归的方式求解。

 

4 射影变换（homographies）

射影变换的一般形式：

由上式推导：

用矩阵的形式表达：

定义最小二乘问题：

这是一个凸优化问题，其问题描述和解为：