关于斐波那契数列 组合错排问题和一些递推公式合集整理

斐波那契数列 原型：a[n]=a[n-1]+a[n-2],n>=3,a[0]=1,a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3,a[4]=5
例题(一）
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
四个月呢？老兔子又生了，之前的一对小兔子也可以繁殖新的一对了，**那么在三对的基础上，又增加了二条，那么，四个月时，共有五条兔子了。满足a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3,a[4]=5。**即可写成a[n]=a[n-1]+a[n-2],n>=3形式求解。
（二）有一楼梯共M级，刚开始时你在第一级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第M级，共有多少种走法？
心得;第一步先要将前4级台阶的走法手写或心算分析一下，经过发现符合a[n]=a[n-1]+a[n-2],n>=3,a[0]=1,a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3,a[4]=5，那么我们直接套用即可。
或者运用推理的方法:
我们在到达最后n层时，最后可以跨一步，也可以跨两步。当我们跨一步时，我们在n-1层，那么会有f(n-1)种的走法；当我们跨两步时，我们在n-2层，那么会有f(n-2)种的走法(走两个一步的情况已经被第一种包括)。两种情况取合则有f(n)=f(n-1)+f(n-2)种情况。//**处理这种问题，分类的点很很关键！**附上代码

#include
int main()
{
	
long i,n,m,a[101];
	scanf("%ld",&n);
	a[1]=1;
	a[2]=2;
	a[3]=3;
	while(n--)
	{  scanf("%ld",&m);
		for(i=4;i<=m;i++)
		a[i]=a[i-1]+a[i-2];		
		printf("%ld\n",a[m-1]);//要注意已经在第一级上了
	}
	
	
	
	return 0;
	
	
	
	}

组合错排问题
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。
计算公式：
C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)
错排隶属离散数;
第一步，考虑第n个元素，把它放在某一位置，比如位置k，一共有n-1种排法。
第二步，考虑第k个元素，若是将k放在原来第n个元素的位置，则剩下的n-2个元素错排即可，共有f(n-2)种排法；若是将k放在其它的位置上，则有n-1个元素可以进行错排，共有f(n-1)种排法。
综合两种情况，共有（n-1)(f(n-1)+f(n-2))个排法.
例题；

HDU 2006’10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：
首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”
大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖
我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢
不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

    Input
    输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1

思路；**用全错的情况除以所有可能，即为出现情况的概率**。

#include
int main()
{
    int n,i,t;
   double a[21],r;	
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		while(n--)
		{a[1]=0;
		a[2]=1;
			scanf("%lf",&r);
			t=r;//无人中奖就是全错
			for(i=3;i<=r;i++)
			a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);//离散错排问题
			for(i=r-1;i>=1;i--)
			r=r*i;
			printf("%.2lf%%\n",(a[t]/r)*100);
		}	
	}
			return 0;
			
			
			
			}
		

三 递推问题~
以题带点
例题
今年的ACM暑期集训队一共有18人，分为6支队伍。其中有一个叫做EOF的队伍，由04级的阿牛、XC以及05级的COY组成。在共同的集训生活中，大家建立了深厚的友谊，阿牛准备做点什么来纪念这段激情燃烧的岁月，想了一想，阿牛从家里拿来了一块上等的牛肉干，准备在上面刻下一个长度为n的只由"E" “O” "F"三种字符组成的字符串（可以只有其中一种或两种字符，但绝对不能有其他字符）,阿牛同时禁止在串中出现O相邻的情况，他认为，"OO"看起来就像发怒的眼睛，效果不好。

你，NEW ACMer,EOF的崇拜者，能帮阿牛算一下一共有多少种满足要求的不同的字符串吗？

PS: 阿牛还有一个小秘密，就是准备把这个刻有 EOF的牛肉干，作为神秘礼物献给杭电五十周年校庆，可以想象，当校长接过这块牛肉干的时候该有多高兴！这里，请允许我代表杭电的ACMer向阿牛表示感谢！

再次感谢！
有趣的递推公式~分析一下
首先分类，如果第n个字符为O，那么第n-1个数就有两种情况，这时一共f(n-2)种排法，共2f(n-2)个排法
如果第n个字符不为O,那么就有f(n-1)种排法。共有f(n)=2(f(n-2)+f(n-1))个排法~~
附上代码

    Input
    输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数n组成，(0

#include
int main()
{
	long long a[100],i,n;
	while(~scanf("%lld",&n))
	{
		
		a[1]=3;
		a[2]=8;
		
		for(i=3;i<=n;i++)
          a[i]=(a[i-1]+a[i-2])*2;

		printf("%lld\n",a[n]);
		
	}
		
	return 0;
	
}