算法导论读书笔记（未完成）

堆排序

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 　　我想了想，还是结合书中的每一句话来解释一下他们的来龙去脉吧，首先堆排序的时间复杂度是O(nlgn),也就是我们所说的大O时间复杂度。为什么说是nlgn的时间复杂度呢？首先我们需要知道max-heapfify的时间复杂度是lgn,也就是我们通常所说的log₂n,因为数据结构当中的堆本质上还二叉树。那么这个n从哪里来呢？每一次Max-heapify都是一个调整堆成为最大堆的过程，每一次只能调整一个元素，因为堆中有n个元素，所以我们要调整n次才能把所有元素调整到正确的地方，这很像冒泡排序，但是实际上这并不是冒泡排序。稍后会跟大家详细说一下。

　　那么说到堆排序，我们首先应该去思考一下，什么是堆？既然堆是二叉树，那么堆肯定会满足二叉树相关的性质。另外这里所说的堆，并不是Java的JVM所说的堆，这里所说的堆，仅仅限于数据结构。如果用数组来进行表示的话，需要注意一点，堆中的有效元素，并不是整个数组，它有可能会小于这个数组的元素个数，那么为什么会是这样的呢？具体可以参考这篇文章。

　　堆当中有3个比较重要的概念，一个是根节点，一个是左子树，一个是右子树。而堆一般分为最大堆和最小堆，一般来说：堆排序所说的，都是最大堆，而最小堆一般用于构造优先队列。那么下面我们还是拿最大堆来说一下，最大堆，顾名思义，根节点是最大的，它应该比左子树和右子树的节点值都要大，这不仅仅说是比它的孩子大，而且这个操作是递归的。也就是说没有任何一个节点能够比根节点更大。那么左子树和右子树之间有没有什么关系呢？如果用数组来表示的话，我觉得只是一个物理存储位置之间的关系。二叉树的遍历相关的知识点大家可以去百度上搜一下，永远记住这么一点，二叉树的完美之处是在于它利用了计算机的原理，也就是二进制移位，这样可以大大提高效率，这就是为什么计算机只有2叉树，没有三叉树，四叉树的原因了。在最大堆当中，根节点的值永远大于或等于子节点的值。

 

维护堆的性质

　　这一节来看看怎么维护堆的正确性。先来看一段伪代码吧,下面这段代码是不能独立的，它依赖于i的位置。也就是说,i其实是根节点（我们所认为的），其实它在树当中不一定是根节点，还有一点想跟大家阐述的是：根节点是相对的，相对于它的子树来说，只要是非叶子节点，都可以认为是根节点。而下面的代码，实际上只是根据最大堆的性质，把大的往上移而已；注意最后一句话，它是一个递归，也就是说，它的作用是把大的节点尽可能地往根上面靠拢，直到不能再交换位置为止。递归的终止条件就是largets==i.

 建堆

　　当然也就是创建一个堆了，本质上来说，建堆其实也就是一个不断调整元素的过程，使其达到最大堆，因为如果一个数组是未排序的，如果想按照堆排序来进行排序，那么就要利用下面的代码。注意一下，为什么是a.lenght/2呢？还是回到之前提到的二叉堆的性质，MAX-HEAPIFY是向下进行遍历的，而A.lenght/2恰好是叶子节点的父节点。这样做的好处，就是可以把每一个节点都放到正确的位置上，就像这样来解释：曾祖父，爷爷，父亲，你，儿子，孙子。这几个的顺序是乱的，假设先从儿子开始，儿子发现他的位置比孙子小（也就是儿子是子节点，孙子是父节点），然后交换顺序，第一次循环结束，第二次发现你居然比儿子的顺序要小，然后交换你和儿子的顺序，继续查找，发现孙子居然排在你的前面了，赶紧交换位置，然后你和儿子和孙子都在正确的位置上了。这么不停循环，直到曾祖父，大家最后都在了正确的位置上，所以建堆的时间复杂度是外层循环n和内层MAX-HEAPIFY的一个乘积。

 

 

 　　

 

快速排序