树、二叉树 4

树
    树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中:(1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;(2)n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T:、T2、……、T,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树( SubTree)。

    

    最常见的树结构就是文件夹存储结构，如果把C盘看成根，那么C盘里面每个文件或文件夹都互不相交，而每个文件夹又是一棵树，也可以成为根的子树。

    节点的度：结点拥有的子树数称为结点的度。度为0的结点称为叶子结点或终端结点，度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

    上图，A节点为2度，E节点为1度，D节点为3度，而整个树为3度，是树内各结点的度的最大值。

    层次与深度：结点的层次( Level)从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层。若某结点在第1层,则其子树的根就在第l+1层。其双亲在同一层的结点为堂兄弟。显然图中的D、E、F是堂兄弟,而G、H、I、J也是。树中结点的最大层次称为树
的深度( Depth)或高度,当前的深度为4。

    有序与无序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

    森林（Forest）：是m（M>=0）棵互不相交的树的集合。

树的存储结构
    简单的顺序存储不能满足树的实现,要结合顺序存储和链式存储来实现。

    三种表示方法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

    双亲表示法：在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。顺序表中存储各个节点，各个节点的指针指向父节点。根节点的指针域为-1.这样就是双亲表示法树结构。缺点是找父节点容易，找子节点难。所以这种方式不方便。

    

    孩子表示法方案1：每个节点也包含数据域和指针域，只是用数组来存储指针域，一个父节点可能指向多个子节点，数组大小是固定的。无指向的置空。这种方式找子节点好找，找父节点难找。还有数组长度设置多了浪费资源，设置少了也不可以。所以这种方式也不方便。

    孩子表示法方案2：这种增加了一个数据域来制定子节点数量，可以动态的设置数组的长度。数组长度问题是解决了。但是仍然是找父节点比较难。

    最终方案：把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空，然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放在一个一维数组中。

    孩子兄弟表示法：任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

    头指针包含数据域、指向子节点的指针域、指向右节点的指针域。通过上图结构就能表示出一颗树出来。但是也没解决找父节点的麻烦的难题。

二叉树
    二叉树( Binary Tree)是n(n≥0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树】,或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

    特殊的二叉树：

    斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。线性表结构其实可以理解为树的一种树表达形式。

    满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

    完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1≤i≤n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二又树称为完全二叉树。

    

    编号与满二叉树一直，就算没有节点，也把编号位置预留。

    二叉树的特性：

    

    上述特性不证明了，感兴趣的自行百度。

    二叉树的顺序存储结构:

    完全二叉树：

    一般二叉树：

  

    二叉链表：

二叉树的遍历：
    前序遍历：规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问跟结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树

void ProOrderTraverse(Tree tree){
    if(T == null){
        return;
    }
    Systemt.out.println(tree.data);
    ProOrderTraverse(tree.lchild);
    ProOrderTraverse(tree.rchild);
}
    中序遍历：规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。

void ProOrderTraverse(Tree tree){
    if(T == null){
        return;
    }
    ProOrderTraverse(tree.lchild);
    System.out.println(tree.data);
    ProOrderTraverse(tree.rchild);
}
    后序遍历：规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。

void ProOrderTraverse(Tree tree){
    if(T == null){
        return;
    }
    ProOrderTraverse(tree.lchild);
    ProOrderTraverse(tree.rchild);
        System.out.println(tree.data);
}
    层序遍历：规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层，按从左到右的顺序对结点逐个访问。