【算法】利用动态规划实现0-1背包问题

描述

给定一个物品集合s＝｛1，2，3，…，n｝，物品i的重量是wi，其价值是vi，背包的容量为W，即最大载重量不超过W。在限定的总重量W内，我们如何选择物品，才能使得物品的总价值最大。

分析

如果物品不能被分割，即物品i要么整个地选取，要么不选取；
不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分物品i，则该问题称为0—1背包问题。
如果物品可以拆分，则问题称为背包问题，适合使用贪心算法。


建立计算p(i，j)的递归式如下：


m[2][1]=max(m[3][1],m[3][0]+10)=10;
m[2][2]=max(m[3][2],m[3][1]+10)=15;
m[2][3]=max(m[3][3],m[3][2]+10)=25;
m[2][4]=max(m[3][4],m[3][3]+10)=30;
m[2][5]=max(m[3][5],m[3][4]+10)=35;
m[1][5]=max(m[2][5],m[2][3]+12)=37;

求最优解

代码

时间复杂度O(nW)

#include
using namespace std;

#define NUM 50
#define CAP 1500
int v[NUM];
int w[NUM];
int p[NUM][CAP];
void knapsack(int c, int n)
{
     
    int jMax=min(w[n]-1,c);
    for( int j=0; j<=jMax; j++)
        p[n][j]=0;
    for( int j=w[n]; j<=c; j++)
        p[n][j]=v[n];
    for( int i=n-1; i>1; i--)
    {
     
        jMax=min(w[i]-1,c);
        for( int j=0; j<=jMax; j++)
            p[i][j]=p[i+1][j];
        for(int j=w[i]; j<=c; j++)
            p[i][j]=max(p[i+1][j], p[i+1][j-w[i]]+v[i]);
    }
    p[1][c]=p[2][c];
    if (c>=w[1])
        p[1][c]=max(p[1][c], p[2][c-w[1]]+v[1]);
}

void traceback( int c, int n, int x[ ])
{
     
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
     
        if (p[i][c]==p[i+1][c])
            x[i]=0;
        else
        {
     
            x[i]=1;
            c-=w[i];
        }
    }
    x[n]=(p[n][c])? 1:0;
}

int main ()
{
     
    int x[NUM];
    int W;
    int n;
    while (cin>>W && W)
    {
     
        cin>>n;
        for (int i=1; i<=n; i++)
            cin>>w[i]>>v[i];
        memset (p, 0, sizeof(p));
        knapsack(W, n);
        cout<< p[1][W]<<endl;
        traceback(W, n, x);
        for (int i=1; i<=n; i++)
            if (x[i])
                cout<< i;
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}