中国剩余定理（CRT）&扩展中国剩余定理(exCRT)
前言
中国剩余定理（也叫孙子定理）并不是很复杂，由于最近用到了，以前学的时候还不写博客，所以现在补一下
中国剩余定理（CRT）
问题
给出 n n n个同余方程
x ≡ a 1 ( m o d p 1 ) x ≡ a 2 ( m o d p 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x ≡ a n ( m o d p n ) \begin{aligned} x&\equiv a_1\pmod{p_1}\\ x&\equiv a_2\pmod{p_2}\\ ··&\ \ \ \ \ ···\ \ \ \ \ \ \ \ ···\\ x&\equiv a_n\pmod{p_n}\\ \end{aligned} xx⋅⋅x≡a1(modp1)≡a2(modp2) ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅≡an(modpn)
保证所有的 p p p两两互质
求最小自然数解 x x x
做法
我们令 P = ∏ i = 1 n p i P=\prod_{i=1}^n p_i P=i=1∏npi
容易发现， x < P x<P x<P
证明，若现在求出一个 x x x满足条件且 x ≥ P x\ge P x≥P
那么 ( x m o d P ) (x\mod P) (xmodP)一定也满足条件且 ( x m o d p ) < P (x\mod p)<P (xmodp)<P
我们考虑对于一个限制 x ≡ a i ( m o d p i ) x\equiv a_i\pmod{p_i} x≡ai(modpi)，我们要进行一种操作，使得其它 n − 1 n-1 n−1个 p p p的模意义下值不变，模 p i p_i pi意义下的值从 0 0 0变为 a i a_i ai
考虑如果我们加上的数是 X ∗ P p i X*\frac{P}{p_i} X∗piP形式的，那么我们就可以满足“其它 n − 1 n-1 n−1个 p p p的模意义下值不变”，由于保证了所有 p p p两两互质，所以 P p i ̸ ≡ 0 ( m o d p i ) \frac{P}{p_i}\not\equiv0\pmod{p_i} piP̸≡0(modpi)
设 P p i ≡ v i ( m o d p i ) \frac{P}{p_i}\equiv v_i\pmod{p_i} piP≡vi(modpi)
那么只要加上 ( a i v i − 1 ( m o d P p i ) ) P p i (a_iv_i^{-1}\pmod{\frac{P}{p_i}})\frac{P}{p_i} (aivi−1(modpiP))piP就可以满足这条限制
最后求出 x x x后再模 P P P就好了
例题
竟然有模板题。。。
洛谷P3868 [TJOI2009]猜数字
有个要注意的地方是这里的逆元应用扩展欧几里得（exGCD）求，另外由于模数过大，需要用到慢速乘（复杂度 Θ ( l o g n ) \Theta(logn) Θ(logn)），可以用杜教乘优化（复杂度 Θ ( 1 ) \Theta(1) Θ(1)，我的这篇博客里有提到）
代码
ac代码（其实也是板子）
#include扩展中国剩余定理（exCRT）
问题
给出 n n n个同余方程
x ≡ a 1 ( m o d p 1 ) x ≡ a 2 ( m o d p 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x ≡ a n ( m o d p n ) \begin{aligned} x&\equiv a_1\pmod{p_1}\\ x&\equiv a_2\pmod{p_2}\\ ··&\ \ \ \ \ ···\ \ \ \ \ \ \ \ ···\\ x&\equiv a_n\pmod{p_n}\\ \end{aligned} xx⋅⋅x≡a1(modp1)≡a2(modp2) ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅≡an(modpn)
求最小自然数解 x x x
（与上面的问题的不同在于这里不保证所有的 p p p两两互质）
做法
考虑我们现在已经符合了前 k − 1 k-1 k−1个限制了
设 P = l c m ( p 1 , p 2 ⋅ ⋅ ⋅ p k − 1 ) P=lcm(p_1,p_2···p_k-1) P=lcm(p1,p2⋅⋅⋅pk−1)，容易发现，满足前 k − 1 k-1 k−1个限制的最小的自然数 x < P x<P x<P
证明同理，也就是现在答案是 x + t P x+tP x+tP形式的
我们要满足第 k k k个限制，其实很方便，就是找到一个 t t t满足
x + t P ≡ a k ( m o d p k ) x+tP\equiv a_k\pmod{p_k} x+tP≡ak(modpk)
移项 t P ≡ a k − x ( m o d p k ) tP\equiv a_k-x\pmod{p_k} tP≡ak−x(modpk)
转化 t P + q p k ≡ a k − x tP+qp_k\equiv a_k-x tP+qpk≡ak−x
然后直接拓展欧几里得求解
若无解输出无解
否则直接将答案更新
例题
洛谷P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
这道题保证有解，所以不用判无解了，保证了解的范围，所以容易发现不用高精度
代码
贴出ac代码，代码里有句注释，是用来判无解的
为了卡常才把它注释掉的
#include总结
并不是很难的两个算法，学起来很方便
后记：感觉exCRT严格优于CRT，有没有大佬指出CRT有什么用啊