中国剩余定理与扩展中国剩余定理

中国剩余定理（CRT）

我好蔡啊
不学这个东东我连任意模数$NTT$都学不了

问题

中国剩余定理用于求解同余方程组

$$\{\begin{array}{r}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ ......\\ x\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}$$

其中$m_1,m_2,...,m_k$两两互质
求$x$的最小非负整数解

定理

令$M={\prod }_{i=1}^k{m}_i$，也就是它们的最小公倍数
设$t_i$为$\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$的最小非负整数解
那么有一个$x$解为${\sum }_{i=1}^k{a}_i\frac{M}{m_i}{t}_i$
通解为$x+kM(k\in \mathbb{Z})$，最小非负整数解为$(x\%M+M)\%M$

证明

对于$\frac{M}{m_i}$，它一定是其他$m$的倍数且不整除$m_i$（注意限制）
那么$\forall k̸=i,a_i\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$，这个是因为$\frac{M}{m_i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k=0$
由于$\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$，所以$a_i\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
又因为$x={\sum }_{i=1}^k{a}_i\frac{M}{m_i}{t}_i$，代入方程组，方程组成立

code

容易发现因为$\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
其实就是求$\frac{M}{m_i}$关于$m_i$的逆元
扩欧实现好了

inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if (b==0){x=1,y=0;return a;}
	ll ans=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=x*(a/b);return ans;
}
inline ll CRT(ll a[],ll m[],ll n)
{
	ll M=1ll,x,y,ans=0ll;
	fo(i,1,n)M*=m[i];
	fo(i,1,n)
	{
		ll tmp=M/m[i];exgcd(tmp,m[i],x,y);
		ans=(ans+a[i]*x*tmp)%M;
	}
	return (ans+M)%M;
}

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扩展中国剩余定理（EXCRT）

问题

扩展中国剩余定理用于求解同余方程组

$$\{\begin{array}{r}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ ......\\ x\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}$$

其中$m_1,m_2,...,m_k$不保证两两互质
求$x$的最小非负整数解

求解

设前$k-1$条方程组成的方程组的一个解为$x$
令$M={\prod }_{i=1}^{k-1}{m}_i$，那么通解就为$x+kM(k\in \mathbb{Z})$

那么考虑加入第$k$条方程，即求一个$t\in {\mathbb{N}}^{+}$，使
$x+tM\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$，也就是$tM\equiv a_k-x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$
由于$M,a_k,x,m_k$都已知，可以看作$ax\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$
这个也可以用扩欧解

扩欧可以直接解出$ax+by=gcd(a,b)$的解$x_0,y_0$
于是如果直接解$ax+by=c$，$x_0$还要除掉$\frac{\gcd (a,b)}{c}$就是$\frac{x_{0}c}{\gcd (a,b)}$
原方程相当于$ax\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=c$，转化为$ax+by=c$，用上面的方法解就好了
注意如果不满足$gcd(a,b)|c$，这条方程无解，整个方程组也无解
好像就是这样了，一共要做$n-1$次扩欧，注意各种取模细节

code

inline ll mul(ll x,ll y,ll mod)
{
	return (x*y-(ll)((long double)x/mod*y)*mod+mod)%mod;     
}
inline ll EXCRT(ll a[],ll m[],ll n)
{
	ll M=m[1],x,y,ans=a[1];
	fo(i,2,n)
	{
		ll gcd=exgcd(M,m[i],x,y),tmp=(a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];
		if (tmp%gcd!=0)return -1;
		x=mul(x,tmp/gcd,m[i]/gcd);
		ans+=x*M,M*=m[i]/gcd,ans=(ans%M+M)%M;
	}
	return (ans%M+M)%M;
}

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后记

感觉这种数学的东西还得多学多记多背……
本人版权意识薄弱……

• 本博客部分知识学习于

• https://blog.csdn.net/niiick/article/details/80229217