十七、逆函数（二）

1. 函数可逆的两个条件隐含的几何意义

假设：

“一对一”等价于“A的零空间是平凡的”，等价于“A的列向量集合是线性无关的”，等价于“A的秩等于n”，因此m=n，即矩阵A必须是个方阵，且矩阵A的行简化阶梯型为n*n的单位矩阵

2. 逆矩阵是线性变换

如果T是线性变换，且T可逆，那么T逆也是一个线性变换。看起来没什么，但其实这个结论非常重要，因为T逆是线性变换，因此T逆可以用一个矩阵向量乘积来表示。

证明：

证明完毕

3. 为什么“高斯消去法”可以求出逆矩阵

1. 行变换（行运算）等价于矩阵列向量的线性变换，证明过程如下：

假设：

如果要把A变为行简化阶梯型，

第一步：行1不变，行2加行1的结果代替行2，行3不变

相当于三个列向量

分别执行下面的线性变换

将线性变换用矩阵向量积来表示：

即第一步等价于

因此，行变换等价于矩阵列向量的线性变换

第二步：行1不变，行2不变，行3减行1的结果代替行3

最终，当把矩阵变成行简化阶梯型时，如果行简化阶梯型是单位矩阵，那么：

因此：

2. 为什么“高斯消去法”可以求出逆矩阵

高斯消去法的数学表示：

当增广矩阵的左边变成单位矩阵时，增广矩阵的右边：

因此，高斯消去法可以求出逆矩阵