十七、逆函数(二)

1. 函数可逆的两个条件隐含的几何意义

假设:

T: R^n \rightarrow R^m

T(\vec{x}) = \underset{m \times n}{A} \vec{x}

Invertible \Leftrightarrow \begin{cases} onto & \text{ if } rank(A) = m \\ one-to-one & \text{ if } rank(A) = n \end{cases}

“一对一”等价于“A的零空间是平凡的”,等价于“A的列向量集合是线性无关的”,等价于“A的秩等于n”,因此m=n,即矩阵A必须是个方阵,且矩阵A的行简化阶梯型为n*n的单位矩阵

2. 逆矩阵是线性变换

如果T是线性变换,且T可逆,那么T逆也是一个线性变换。看起来没什么,但其实这个结论非常重要,因为T逆是线性变换,因此T逆可以用一个矩阵向量乘积来表示。

证明:
\begin{align*} & T^{-1} o T = I_{R^n} \\ & T o T^{-1}= I_{R^n} \\ & because: \\ & T(\vec{x} + \vec{y}) = T(\vec{x}) + T(\vec{y}) \\ & T(c\vec{x}) = cT(\vec{x}) \\ & and: \\ & T o T^{-1}(\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} + \vec{y} \\ & T o T^{-1}(\vec{x}) = \vec{x} \\ & T o T^{-1}(\vec{y}) = \vec{y} \end{align*}

\begin{align*} & so: \\ & T o T^{-1}(\vec{x} + \vec{y}) = T o T^{-1}(\vec{x}) + T o T^{-1}(\vec{y}) \\ & T(T^{-1}(\vec{x} + \vec{y})) = T(T^{-1}(\vec{x})) + T(T^{-1}(\vec{y})) \\ & T(T^{-1}(\vec{x} + \vec{y})) = T(T^{-1}(\vec{x}) + T^{-1}(\vec{y})) \\ & T^{-1}(T(T^{-1}(\vec{x} + \vec{y}))) = T^{-1}(T(T^{-1}(\vec{x}) + T^{-1}(\vec{y}))) \\ & T^{-1} o T(T^{-1}(\vec{x} + \vec{y})) = T^{-1} o T(T^{-1}(\vec{x}) + T^{-1}(\vec{y})) \\ & T^{-1}(\vec{x} + \vec{y}) = T^{-1}(\vec{x}) + T^{-1}(\vec{y}) \end{align*}

\begin{align*} &T o T^{-1}(c \vec{x}) = c \vec{x} \\ &T o T^{-1}(c \vec{x}) = c(T o T^{-1}(\vec{x})) \\ &T(T^{-1}(c \vec{x})) = c(T(T^{-1}(\vec{x}))) \\ &T(T^{-1}(c \vec{x})) = T(cT^{-1}(\vec{x})) \\ &T^{-1}(c \vec{x}) = c T^{-1}(\vec{x}) \end{align*}

证明完毕

3. 为什么“高斯消去法”可以求出逆矩阵

1. 行变换(行运算)等价于矩阵列向量的线性变换,证明过程如下:

假设:

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ -1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}

如果要把A变为行简化阶梯型,

第一步:行1不变,行2加行1的结果代替行2,行3不变

A \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}

相当于三个列向量

\vec{a_1} = \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}, \; \vec{a_2} = \begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}, \; \vec{a_3} = \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}

分别执行下面的线性变换

T \left ( \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 + a_1\\ a_3 \end{bmatrix}

将线性变换用矩阵向量积来表示:

T \left ( \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} = \mathbf{S_1} \vec{a}

即第一步等价于

\left [ S_1 \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} \;\; S_1 \begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix} \;\; S_1 \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 4 \end{bmatrix} \right ] = \mathbf{S_1} \mathbf{A}

因此,行变换等价于矩阵列向量的线性变换

第二步:行1不变,行2不变,行3减行1的结果代替行3

A \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow \cdots

A \rightarrow S_1 A \rightarrow S_2 S_1 A \rightarrow \cdots

最终,当把矩阵变成行简化阶梯型时,如果行简化阶梯型是单位矩阵,那么:

S_n \cdots S_2 S_1 A = I

因此:

S_n \cdots S_2 S_1 = A^{-1}

2. 为什么“高斯消去法”可以求出逆矩阵

高斯消去法的数学表示:

\begin{align*} & A & I \\ & S_1 A & S_1 I \\ & S_2 S_1 A & S_2 S_1 I \\ & S_n \cdots S_2 S_1 A & S_n \cdots S_2 S_1 I \\ \end{align*}

当增广矩阵的左边变成单位矩阵时,增广矩阵的右边:

\begin{align*} & S_n \cdots S_2 S_1 I \\ &= S_n \cdots S_2 S_1 \\ &= A^{-1} \end{align*}

\left [ A | I \right ] \rightarrow \left [ I | A^{-1} \right ]

因此,高斯消去法可以求出逆矩阵

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