数论总结（二）
（一）欧拉函数
用途：对正整数n，欧拉函数
是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
（二）欧拉定理
互质：若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:
a^[φ(n)]≡1 （mod n）
其中： φ函数的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
证明
将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）
我们考虑这么一些数：
m1=a*x1; m2=a*x2; m3=a*x3 …… mφ(n)=a*xφ(n)
1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：
mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR
2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.
由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).
故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)
或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n) （mod n）
( 公式： ａ＝ｂ（ｍｏｄ ｎ） ＜＝＞ ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ（ｍｏｄ ｎ）
＜＝＞ ａ－ｂ＝0 （ｍｏｄ ｎ） )
或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}（mod n）≡0 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。
可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 （mod n），即a^[φ(n)]≡1 （mod n），得证。
（三）费马小定理
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论：对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。
（四）费马大定理
n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
（五）中国剩余定理
中国剩余定理（CRT）的表述如下
设正整数
两两互素，则同余方程组
有整数解。并且在模
下的解是唯一的，解为
其中
，而
为
模
的逆元。
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
int M = 1;
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
M *= m[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int x, y;
int Mi = M / m[i];
extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
}
if(ans < 0) ans += M;
return ans;
}（六）鸽巢原理（抽屉原理）
鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。
其中一种简单的表述法为：
若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。
另一种为：
若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。
如果要把n个物件分配到m个容器中，必有至少一个容器容纳至少⌈n / m⌉个物件。（⌈x⌉大于等于x的最小的整数）
（七）容斥原理
容斥原理又称排容原理，在组合数学里，其说明若
, ..., 
为有限集，则
其中
表示
的基数。例如在两个集的情况时，我们可以透过将和
相加，再减去其交集的基数，而得到其并集的基数。
也可以写成：
-
-
- 特殊情况：
-
如果在容斥原理的概率形式中，交集AI的概率只与I中元素的个数有关，也就是说，对于{1, ..., n}中的每一个k，都存在一个ak，使得：
-
，对于每一个
则以上的公式可以简化为：
-
-
（八）欧几里得
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}（九）扩展欧几里得
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
代码实现：
递归：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=m%n;
int q=(m-r)/n;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
m=n; n=r; r=m%n;
q=(m-r)/n;
}
return n;
}扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
对于不定整数方程ax+by=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到a * x+ b * y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后，a * x+ b * y = Gcd(a, b)的其他整数解满足：
x' = x0 + b/Gcd(a, b) * t
y' = y0 - a/Gcd(a, b) * t (其中t为任意整数) (也就是无数个解）
至于ax+by=c的整数解，只需将a * x+ b * y = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可。
在找到a*x+ b*y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后，应该是得到ax+by=c 的一组解为：
x'' = x0*(c/Gcd(a,b)),
y'' = y0*(c/Gcd(a,b))
ax+by=c的其他整数解满足：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
int d=exgcd(a,b,x,y); ///d是gcd(a,b);
if(c%d)
return false; ///无解
int k=c/d;
x*=k; y*=k; ///求得的只是其中一组解 也就是上面的x'',y''!!!
return true;
} 模线性方程组定理概述：
定理一：设d = gcd(a, n), 假定对整数x', y', 有d = ax' + ny'， 如果d | b, 则方程ax = b(mod)有一个解的值为x0, 满足：、
x0 = x'(b / d)(mod n）
定理二：假设方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一个解， 则方程对模n恰有d个不同的解， 分别为： xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1
(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b（|表示整除）。且方程有解时，方程有gcd(a,n)个解。（这里由于规定同于方程组的解是同余类的个数，也就是在模m的一组完全剩余系中解的个数，术语有点多，还是有点懵！！！）
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ny=b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d|b，则方程
a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，
y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax=b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x*(b/d)mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+i*(n/d))mod n {i= 0... d-1}。
设s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小正整数解为：(x%s+s)%s; 其中x为ax+by=b的解
相关证明：
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi=x0+i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x=2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设gcd(a,n)=d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d. (每个解之间的最小间隔）
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下：
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) ///求解模线性方程
{
int x,y,x0,i;
int d=exgcd(a,n,x,y);
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n; ///特解 这里解是取余的！
for(i=1;i（3）用欧几里德算法求模的逆元：
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，也及时同余方程是 ax≡1 (mod n ),gcd(a,n)= 1的情况下。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
我们经常在做题时会看到这样一句话：由于答案较大，请输出答案mod m的结果。（其中m一般为一个大质数）
我们经常会使用以下几个等式：
(a+b)≡(amodm+bmodm)(modm)
(a−b)≡(amodm−bmodm+m)(modm)(a>b)
(a×b)≡(amodm×bmodm)(modm)
我们定义若b×b1modc=1 ，则称b1为b模c的乘法逆元。
并且有 (a÷b)modc=(a×b1)modc。（其中a÷b为整除）