datalab实验 说明文档

移位运算说明文档 
1. int bitAnd(int x, int y) 　　在没有&操作的情况下实现两个数得按位与操作，根据公式　x & y = ~(~x | ~y)　易得结 果。例如：0x8000FFFF & 0x77777777 = ~(0x7FFF0000 | 0x88888888) = ~0xFFFF8888 = 0x00007777 2. int getByte(int x, int n) 　　在x的二进制表示从后往前中抽出第n个字节的数，由于一个字节对应８个比特，而16进 制表示中每一位数字表示的是4个比特，所以一个字节对应的是16进制中的相邻两位。如第０个 字节，就是16进制的后两位；第１个字节就是16进制的倒数第三位和倒数第四位。为了抽出16 进制中的两位数字，只需要将对应数字右移至末尾，再与0xFF作&操作。而为了将对应数字移至 末尾，我们需要右移n个字节，即8*n个bit位，也就是 n << 3 。 　　　　　　例如：x = 0x77778FFFF， n = 1时，n << 3 = n*8 = 8,  x >> 8 =  0x0077778FF， 0x0077778FF & 0xFF = 0xFF 。 3. int logicalShift(int x, int n) 　　　　　逻辑右移，由于逻辑右移在符号位为0时与算术右移无差别，而在符号位为1时右移 时补 足的位仍然是0, 所以需要根据符号位进行判断。大致思路是，首先提取出x的符号位，保持符号 位的位置不变，其他位置为0。然后对x进行算术右移，需要进行操作的是算术右移时补足的位， 右移n位，补足的位数是n – 1位, 再使表示符号位的数右移n – 1位，（为了避免n = 0 时产生 特殊情况，右移n – 1位的实现方法为右移n位再左移1位），两个数再取异或。对0取异或为本 身，对1取异或为取反，所以如果补足的符号位是1时，符号位右移n – 1时补足的位仍然为1， 这样取异或时，可以使补足的1变为0；如果补足位为0时，与0取异或仍然是本身。对于非补足 位，与0异或仍然是本身。 　　例如：x = 0x8000FFFF，n = 4时，((x >> 31) << 31) = 0x80000000，(x >> 3) = 0xF8000FFF， (0x80000000 >> 4) << 1 = 0xF0000000, 0xF8000FFF & 0xF0000000 =  0x08000FFF 。 4. int bitCount(int x)       计算二进制表示时1的个数。为了在40个操作数之内完成，所以不能采用移一位算一位的方 法。所以需要设计一些方法使原来的方法得到简化。而我这里设计了0x11111111这样一个数，可 以使得四个比特位能够同时比较，也就是用0x11111111与x进行与操作，然后将x右移一位，再 与0x11111111进行与操作，总共右移三次，然后将得到的数字相加，这样每四位的1的个数就存 在结果的十六进制表示时的八个数字上，接下来只需要将这8个数字相加就能得到结果。因为16 进制表示时每位上的数字不会超过４，所以我们可以先让这个结果右移16位和原来得结果相加， 这样得到的新结果的后４位上的数字之和为整个x二进制1的个数。同理，每个位数上的数字不 会超过8。但是同样的方法不能够再使用了，因为如果再将新结果右移8位相加后，每个位数上 的数字表示的是原二进制16个位数上的１的个数，这个个数是会超过15的，这样的话一个位置 的16进制的数字是没有办法表示16的。所以这里我们需要换一种方式来相加，我们设计了数字 0x00000F0F，新结果与这个数字进行与操作，新结果再右移４位再和0x00000F0F与操作，两者 的与结果相加，这样两个byte表示的数字之和就是x二进制的1个数，此时一个byte表示的数字 是可以大于等于16的，最后的只需要将两个byte相加再和0x3F(因为1的个数不会超过32，保证 二进制第六位及一下都是1，所以设计的是0x3F)进行与操作就能得到最后的答案。后两个byte位 的相加也很简单，只需要将数字右移一个byte然后和原数相加那么得到最后一个的byte就是最后 答案，由于1的个数不会超过32个，所以放心的使用byte来存储吧！ 　　例如：x = 0x8000FFFF，0x8000FFFF&0x11111111 = 0x00001111，再将0x8000FFFF依次移位 再与0x11111111进行与操作，得到结果分别为，0x00001111，0x00001111，0x10001111，相加之 后的结果为 0x10004444，右移16位之后和本身相加为，0x10005444，和0xF0F与操作之后是 0x404，右移4位之后和0xF0F与操作的结果为0x504，相加之后的结果为0x908，在右移8位之 后与本身相加 0x11，再和0x3F与操作之后为0x11，十进制结果为17 。
5. int bang(int x) 　　判断x是否为0，0返回1，否则返回0。我使用的大致判定规则是一个数的相反数的符号和 自己的符号是否是一样的，得到相反数的方法就是取反加一，而得到符号的方法更简单，就是右 移31位，除了0x80000000这个特殊的数之外其余的数都能用这个规则判定。为了也能判定这个 特殊的数，我们只需要稍微改进一下判定规则即可。我们注意到0的符号位是1而这个特殊的数 的符号位为1所以我们得到某个数的符号位和其相反数的符号位之后，进行或操作，这样这个数 和其相反数保证必须同时为0，最后取反，那么最后一位的值必然是我们的结果，最后和0x1进 行与操作去掉没有用的其他位的数字，就能得到最后需要的结果。 6. 　　例如：x = 0x80000000，x >> 31 = 0x1，~x + 1 = 0x80000000，(~x + 1) >> 31 = 0x1，0x1|0x1 = 0x1，~(0x1) = 0xFFFFFFFE，0xFFFFFFFE&0x1 = 0x0，返回0 。 7. int tmin(void) 　　返回32位int中的最小值。很明显，最小值的表示方式是0x80000000，只需要将0x80左 移24位就能得到int中的最小值。       (0x80) << 24 = 0x80000000，此结果即为32位int的最小值。
8. int fitsBits(int x, int n) 　　计算x是否能被b位二进制表示，判断机制十分简单，无论x的正负，为了判断x是否能被n 位二进制表示，我们将x左移32-n位然后再右移32-n位，得到的结果与x作比较，如果一致的话， 说明在x的32位二进制表示之中前32-n位是没有用的，换句话说就是x能够被n位二进制数表示。 根据这样的原理，我们只需要判断两个数是否相同就能判断x是否能被n位二进制表示。因为32n是方便表示的，相当于32加上n的相反数，而n的相反数即为(~n+1)。党我们判断两个梳是否 相同时就可以使用异或的操作，如果相同则结果全为0，如果不同则结果中至少含有一个1。这时 我们可以使用!操作判断是否为0。但是在操作过程中，函数n=32时有报错，我想可能时移位操 作时有些小bug，于是在程序的结果中添加了n=32的判断，如果n=32，x是一定能被表示的。所 以这里只需要判断temp是不是0，得到结果再和之前的异或取反结果取或操作就能解决这个小 bug了。 　　例如：x=32，n=6，我们可以得到32-n = 0x21 + (~n) = 0x21 + 0xFFFFFFF9 = 0x1A， 而(x << 26) >> 26 = 0x0，而0x0^0x20=0x20，!0x20 = 0x0， !0x1A  = 0x0，0x0|0x0 = 0，32不能被6位表 示。 9. int divpwr2(int x, int n) 　　计算x/(2^n)，其实处理这个运算并不算麻烦，右移n位能得到结果。但是比较麻烦的事情是 这里需要向0取整，x为正数(x >> n)的结果和向0取整是一致的，但是负数时(x >> n)的结果会比 向0取整的数少１，这时我们需要判断x是否为负数如果x为负数，那么x右移n位之前需要补 上(2^n- 1)，这样能在右移n位之后保证得到的数是向0取整的。判定x是否为负数很简单，只需 要把x右移31位得到数要么是0x0要么就是0xFFFFFFFF，把这个数和(2^n- 1)作与操作，就可以 得到x再右移之前需要相加的数了，因为如果x是正数，那么相加的数为0，如果x是负数那么相 加的数为 2^n- 1。 　　例如：x = -33，n = 5，x >> 31 = 0xFFFFFFFF，(1 << 5 + 0xFFFFFFFF) = 0x0000001F， 0xFFFFFFFF& 0x0000001F =  0x0000001F，x + 0x0000001F = 0xFFFFFF1F + 0x0000001F = 0xFFFFFF30，0xFFFFFF30 >> 5 = 0xFFFFFFFF = -1 。 10.int negate(int x)        取x的相反数，由于x与x的相反数之和为0，根据这样的性质，我们可以想象x先与~x求和 得到的结果必然是0xFFFFFFFF，再这个基础上再加上1就能得到0x0这样一个理想的结果，所以 x的相反数是~x+1。 　　例如：x = 0xFFFFF00F，x十进制上面表示的是-4081这个数字，~x + 1 = 0x00000FF0 + 1 = 0x00000FF1，而0x00000FF1表示的数字刚好是4081 。 11.int isPositive(int x) 
　　判断x是否为正数，方法十分简单只要判断x的符号位是否为0即可，!(x >> 31)就能知道x 的符号位是0还是1，但是我们遇到一个问题，就是在判断0的时候出现了bug，因为0的符号位 也是0，但是0并不是正数。我们需要额外判断x是否为0，判断x为0就更加简单，!x的操作就 能完成。现在只需要把逻辑理清楚就能写出表达式，当且仅当x不为0且x的符号位为0的时候x 为正数，那么(!(!x))&(!(x >> 31))的表达式自然就出来了。 　　例如：x = 0x8FFFFFFF，!!x = 1，!(x >> 31) = 0，所以0x1&0x0 = 0，这个x不是正数。 12.int isLessOrEqual(int x, int y) 　　判断x是否小于等于y，我们可以分两种情况进行讨论，一种是符号位相同的结果一种是符号 位不同的结果，两个结果取或操作就能得到我们最终的比较结果。符号不同时，判断x与y的大 小关系是容易的，符号位不同时当且仅当x符号位为1而y符号位为0的时候x小于等于y，那么 提取出符号位x >> 31，类似的有y >> 31，那么根据刚才叙述的逻辑，符号不同时的判断表达式 为(x >> 31)&(!(y >> 31)) 。而符号相同时，判断的条件是什么呢?我们可以直接使用y – x = y + ~x + 1这样的式子来判断结果的符号位，如果符号位是1，y < x，如果符号位是0，则y >= x，符号 位是0时是我们想要的结果。所以符号相同时，当且仅当y + (~x) + 1的结果符号位是0时x小于 等于y 。但是在计算y和x的差时，必须保证相同符号，不然符号不同的话，一个负数减去一个 正数在32位二进制中可能得到的是一个负数，所以事先需要判断是否为相同符号，根据之前取出 的x >> 31和y >> 31可以有异或操作来判断符号位是否一致。符号位一致的情况是，当且仅当(x >> 31) 和(y >> 31)的两个结果相同，且y + ~x + 1的结果的符号位为 0 时有x 小于等于y，那么就 有如下表达式((!(signY^signX))&(!signY_X))，其中signX = x >> 31，signY = y >> 31，signY_X = (y + (~x + 1)) >> 31 。最后两个情况的结果再取或操作。 　　例如：x = 0x0000001F，y = 0x0000000F，signX = x >> 31 = 0x0，signY = y >> 31 = 0x0，signY_X = (y + (~x) + 1) >> 31 = (0x0000000F + 0xFFFFFFE0 + 1) >> 31 = 0xFFFFFFF0 >> 31 = 0xFFFFFFFF，signX & (!signY) = 0x0 & 0xFFFFFFFF = 0x0，((!(signY^signX))&(!signY_X)) = ((! (signY^signX))&(!0xFFFFFFFF)) = ((!(signY^signX))&0x0) = 0x0，0x0 | 0x0 = 0，!!0 = 0 。 13.int ilog2(int x) 　　求以２为底数的x的对数，向下取整，由于x必须大于0，所以这道题其实就是求正数x在 二进制表示时数值为1的最高位bit位位数再减去1，由于一共有32个bit位，如果一位一位的 比较，势必会超过90个操作数，所以我们必须用其他更为简便的查找方法。我们这里采用的是 二分查找方法，先判断１的最高位数在前16位还是后16位，判断方法非常简单，将x数右移 16位，如果最高位数在后16位，那么右移16位之后得到的数字必然不是0，而如果最高位数在 前16位，右移16位后x将全部变成0 。接下来要解决怎么把这样得信息传递到下次判断之中， 因为是二分查找，所以下次查找是查找8位，可是怎么知道是在前16位查还是在后16位查。首 先，得知最高位数后16位数，那么结果是必然大于等于16，类似的，如果是在后8位，一定会 大于等于8，我们现在用一个变量来存储这样一个必然大于等于的值，因为是二分查找，有边界 条件，不断找到找到这样一个值之后，就能得到一个精确的结果。这样一个临时变量也就是我们 需要返回的结果。如果我们能判断最高位数在前16或者后16，我们可以用这样一个0或1判断 结果右移4位，就会得到16，而之后的结果就在这个16的基础上相加。那么问题来了，怎么让 下次8位判断知道在前16后16位查找呢?其实有了临时变量后十分简单，直接可以让x右移这 个临时变量的值就行，接下来就可以重复类似判断前16和后16的操作。因为知道了x最高1位 数大致位置，就可以通过右移，去掉一些无用的位数，就能更方便的进行运算。不过一定记住， 这个临时变量一定是累加的，中途的右移操作也是依托于这个变量，而且这个变量会记录最终的 结果。可以通过例子更加明白二分查找的过程。 　　例如：x = 0x00110201，temp = (!!(x >> 16)) >> 4 = (!!(0x00000011)) << 4 = 1 << 4 = 0x10000 = 16，temp = temp + ((!!(x >> (16 + 8))) << 3) = temp + ((!!0x0) << 3) = temp = 16，temp = temp + ((!!(x >> (16 + 4))) << 2)  = temp + ((!!0x01) << 2)  = temp + 4 = 20，temp = temp +  ((!!(x >> (20 + 2))) << 1) = temp +  ((!!0x0) << 1) = temp = 20， temp = temp + ((!!(x >> (20 + 1)))) = temp + (!!0x00)  = 20，最高为1的位数21，最后结果 为20 。
14.unsigned float_neg(unsigned uf)
       浮点数求相反数，浮点数取反其实非常简单，只要把将符号位取反就行，而不影响其他位的 数值即可，那么只需要和0x80000000取异或操作就能够实现，因为和1取异或是取反而和0取异 或则是取本身。但是题目里面有额外的要求，当参数是NaN的时候，应该返回原参数，不做符号 位的改变。所谓的NaN也就是，表示exp的八个bit位都是1并且表示frac的bit位不全为0的情 况下，我们说这样的浮点数表示的是NaN，允许if操作的话，我们其实只需要比较不考虑符号位 的情况下，浮点数解析成int的值是否大于(0xFF << 23)我们就能知道这个数是不是NaN，因为除 开符号位，如果这个数大于(0xFF << 23)的话，那么对应的exp的八个bit位必然全部为1，而且 frac部分必然是大于0的。所以我们只需要判断非符号位与(0xFF << 23) 的大小，然后根据情况返 回结果。如果大于这个数，那么返回本身，否则的话，符号位取反，就是需要返回的结果。 　　例如：uf = 0x10001111，(uf&(~(0x80 << 24)) = 0x10001111 & 07FFFFFFF = 0x0001111 < 0x7F80000 。返回uf^(0x80 << 24) = 0x10001111 ^ 0x80000000 = 0x00001111 。 15.unsigned float_i2f(int x) 　　int类型转float类型，我们可以理解int是没有exp部分的，而frac部分int有31位，而 float只有23位，所以很有可能会丢失精度，这时必须要有心理准备的，如果有精度丢失，我们 需要根据针对浮点数的”四舍五入”，来进行进位。我们要有准备应对这个情况，但是这只是属于 细节，真正重要的是怎么尽量减少丢失的精度。为了方便，我们只讨论int为正数的情况，因为 如果int为负数的话，我们可以转化为正数后，得到float结果后，再将符号位变为１。我们只需 要在转化int之前把符号位提取出来最后再加上去就行。 　　首先，我们该如何减少精度的丢失，这里其实很简单，我们忽略掉int二进制表示时(从左往 右数，第一个出现的1之前的0，这样在浮点数表示时，我们就能尽量减少精度丢失)。采用循环 的方法，从左往右遍历直到出现第一个1为止，用一个变量记录(0的个数加一)，变量初始值为 1，循环停止之前每经过依次循环就自增1，结束条件就是(x & 0x80000000)为真，否则x就左 移一位需要提醒的事情是，如果输入为0，程序可能进入死循环，那么程序需要在最开始进行判 断，如果x为0就返回0，这样就避免了死循环，根据这个先决条件，我们能够确定最后的浮点 数表示中frac部分至少存在一个1。还要额外提醒一下这个(从左往右数)第一个1的作用，这个 1是不会显示在最后的frac部分的，因为一般情况下浮点数解析时个位数会自动变为1，除非 exp部分全为0，所以实际上frac部分显示的只需要原来的32 - temp2位，这就是为什么这个变 量储存的是(从左往右数)第一个1之前0的个数加一，而不是0的个数。 　　现在假设我们知道x中第一个1之前0的个数(temp2 -  1)，怎么得出最后的float数字呢?我 们现在x已经左移到符号为1的情况，如果右移8位，注意是8位而不是9位，因为第一个1之 后的数字才有用,第一个1是在浮点数解析时会自动补上的，也就是说我们不必在乎这个原始x从 左往右数的第一个1在浮点数二进制中的表示。另外，由于是unsigned类型，右移时符号位会 一直补足0。我们已经得到float中frac部分的大致数字，然后只需要加上exp,符号位，和最后 丢失精度的进位就是最后的结果。 　　我们知道最高位1之前的0的个数加１为temp2，又由于之前右移8位时留了一个1在从左 往右数的第9位上，所以计算exp部分时可以少算一个1 。那么根据exp部分的计算公式，我们 可以得到exp部分应该表示的数为127+(31 – temp2) = 158 – temp2 。将这个数左移23位到 exp的位置，我们得到转为float之后的exp部分其他部分全为0 。 　　现在还有一个需要计算，就是当我们舍去某些位时，会导致精度的丢失，而此时我们需要根 据针对浮点数的”四舍五入”，判断flag是否为1 。现在提取出会被舍去的部分，也就是temp0的 (从左往右看)后9位，可以用和0x01ff的与操作，提取出来，如果这一部分是大于256(0x0100) 的，那么应该有进位操作，如果这一部分是等于256且temp0的(从左往右看)倒数第10位上是 数字1的话，也应该有进位，这种情况的判断是和0x03ff与操作，看结果是否与0x0300相等。 根据if判断在这两种情况下都使得flag=1，最后可以将求得的符号部分，exp部分，frac部分， 和最后的进位部分相加就能得到最后的结果。 　　例如：x= 0xFFFF8888，由于x < 0，那么求得绝对值abs = -x = 0x00007778，符号位 sign = 0x80000000，temp0表示需要右移的数，也就是x，进入循环判断，循环过程略去，循 环跳出时，tmp=0xEEF00000，temp2 = 18，temp0 = 0xDDE00000，根据if判断得到flag = 0 。那么最后的答案将会是　sign + (tmp >> 8) + ((158 – temp2) << 23) = 0x80000000 + 0x00EEF000 + (140 << 23) = 0x80000000 + 0x00EEF000 + (0x0000008C<< 23) = 0x80000000 + 0x00EEF000+0x46000000 = 0x80000000 + 0x46EEF000 = 0xC6EEF000
表示浮点数的0xFFFF8888 。
16.unsigned float_twice(unsigned uf) 　　求浮点数的两倍 ，需要考虑的情况分为，当exp部分全为０时，因为此时表示的frac部分 加入小数部分时，非小数位会变为0而不是1(0.frac这样的形式)，如果这样的数乘以2，我们只 需要把x的后23位左移一位，然后符号位不变即可，因为如果小数第一位为1，那么左移一位， 刚好有一个1能够加入exp部分，此时的frac加入数值的小数部分时，非小数位由于exp不全为 0会自动变为1(1.frac这样的形式)，如果小数的第一位为0，那么左移一位正好也是乘以2而不 影响其他部分的位置，实现方法为先提取符号位uf&0x80000000，然后提取出后23位 uf & 0x007FFFFF，然后左移一位之后与之前的符号结果做或操作；当输入为NaN，返回参数本身； 除开这两种情况，exp部分加1(实现方法uf + 0x00800000)就能够返回了。         例如：uf = 0x0070000F，uf & 0x7F800000 = 0，(uf & 0x007FFFFF) << 1 =0x 00E0001E，uf & 0x80000000 = 0，0x00E0001E | 0 = 0x00E0001E，返回0x00E0001E 。