排列组合十一个性质公式及证明，错排数公式及证明

排列数

从$n$个物品中不放回地依次选$m$个物品，考虑顺序，有多少种方案，记作$A_n^m$
$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

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组合数

从$n$个物品中不放回地依次选$m$个物品，不考虑顺序，有多少种方案，记作$C_n^m$
$$C_n^m=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}$$

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求组合数常用公式

定义式

$$C_n^m=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}$$
当$n,m$很大时，预处理阶乘和逆元，预处理$O(n)$，求组合数$O(1)$

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递推式

$$C_n^m=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}=\frac{n!}{(m-1)!\ast (n-m+1)!}\ast \frac{n-m+1}{m}=C_n^{m-1}\ast \frac{n-m+1}{m}$$

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杨辉三角

$$C_n^m=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}=\frac{(n-1)!\ast (n-m+m)}{m!\ast (n-m)!}$$
$$=\frac{(n-1)!\ast (n-m)}{m!\ast (n-m)!}+\frac{(n-1)!\ast m}{m!\ast (n-m)!}$$
$$=\frac{(n-1)!}{m!\ast (n-m-1)!}+\frac{(n-1)!}{(m-1)!\ast (n-m)!}$$
$$=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$$
当模数不是质数的时候，预处理$O(n^2)$，求组合数$O(1)$

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组合数常用性质及证明

性质一

$$C_n^m=C_n^{n-m}$$

证明：
法一：利用组合数意义理解
在$n$个当中选$m$个，相当于在$n$个当中不选$n-m$个
法二：公式表示
$C_n^m=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}$
$C_n^{n-m}=\frac{n!}{(n-m)!\ast (n-(n-m))!}=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}$

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性质二

$$C_{n+m+1}^m=\sum _{i=0}^m{C}_{n+i}^i$$

证明：
利用画图以及杨辉三角得证

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性质三

$$C_n^m\ast C_m^r=C_n^r=C_{n-r}^{m-r}$$

证明：
法一：利用组合数意义理解
在$n$个当中选$m$个，再在选出的$m$个当中选$r$个
相当于在$n$个当中选$r$个，再在剩下的$n-r$个中选还需要的$m-r$

法二：公式推导
$$C_n^m\ast C_m^r=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}\ast \frac{m!}{r!\ast (m-r)!}=\frac{n!\ast m!}{m!\ast r!\ast (n-m)!\ast (m-r)!}$$$$=\frac{n!}{r!\ast (n-m)!\ast (m-r)!}=\frac{n!\ast (n-r)!}{r!\ast (n-m)!\ast (m-r)!\ast (n-r)!}$$$$=\frac{n!}{r!\ast (n-r)!}\ast \frac{(n-r)!}{(m-r!)\ast (n-m)!}\{(n-r)-(m-r)=n-m\}$$$$=C_n^r\ast C_{n-r}^{m-r}$$

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性质四(二项式定理)

$$\sum _{i=0}^n\{C_n^i\ast x^i\}=(1+x{)}^n$$
$$\sum _{i=0}^n{C}_n^i=2^n(x=1)$$

证明：
组合数意义理解

$(1+x{)}^n=(1+x)\ast (1+x)\ast ...\ast (1+x)$，$n$个$(1+x)$相乘
$(1+x)$在乘法中的贡献相当于要么选$1$，要么选$x$
有$i$个$(1+x)$中选$x$，产生的贡献就是$x^i$，剩下的$n-i$个$(1+x)$，产生的贡献是$1$
在$n$个中任意选$i$个，相当于$C_n^i$

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性质五

$$\sum _{i=0}^n\{(-1{)}^i\ast C_n^i\}=0$$

证明：
①：若$n$为奇数
则${\sum }_{i=0}^n$共有$n+1$项（偶数项），而$(-1{)}^i\ast C_n^i=(-1{)}^i\ast C_n^{n-i}$
因为$n$为奇数，所以当$i$为奇数时，$n-i$为偶数，当$i$为偶数时，$n-i$为奇数
所以$i,n-i$奇偶性不同，那么$(-1{)}^i+(-1{)}^{n-1}$相当于$(-1{)}^{奇数次方}+(-1{)}^{偶数次方}=0$
$(-1{)}^i\ast C_n^i+(-1{)}^{n-i}\ast C_n^{n-i}=0$
偶数项刚好每一对可以相互抵消，所以性质显然成立

②：若$n$为偶数
$(-1{)}^0=(-1{)}^n=1$，先把$i=0,i=n$的情况拆出来，用杨辉三角展开中间项
$$\sum _{i=0}^n\{(-1{)}^i\ast C_n^i\}=C_n^0+C_n^n+\sum _{i=1}^{n-1}\{(-1{)}^i\ast (C_{n-1}^i+C_{n-1}^{i-1})\}$$
$$C_n^0+C_n^n+\sum _{i=0}^{n-2}\{(-1{)}^{i+1}\ast C_{n-1}^i\}+\sum _{i=1}^{n-1}\{(-1{)}^i\ast C_{n-1}^i\}$$
把前一个求和加上$(-1{)}^n\ast C_{n-1}^{n-1}$一项，后一个求和加上$(-1{)}^0\ast C_{n-1}^0$

$$C_n^0+C_n^n+\sum _{i=0}^{n-1}\{(-1{)}^i\ast C_{n-1}^i\}-C_{n-1}^{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}\{(-1{)}^i\ast C_{n-1}^i\}-C_{n-1}^0$$
注意$n-1$为奇数，奇数情况已经证明了，故这两个公式直接等于$0$，删掉，原式转化为
$$C_n^0+C_n^n-C_{n-1}^0-C_{n-1}^{n-1}=0$$

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性质六

$$C_n^0+C_n^2+...=C_n^1+C_n^3+...=2^{n-1}$$

证明：
用杨辉三角公式暴力展开寻找规律
①假设$n$为奇数
$$C_n^0+C_n^2+...+C_n^{n-1}=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+C_{n-1}^4+...+C_{n-1}^{n-2}+C_{n-1}^{n-1}$$
$$C_n^1+C_n^3+...+C_n^n=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+...+C_{n-1}^{n-1}+C_{n-1}^n$$
发现每一项都是相等的，第二个式子多出来的$C_{n-1}^n=0$，所以相等得证
又根据性质四${\sum }_{i=0}^n{C}_n^i=2^n$，前两个式子相加刚好等于${\sum }_{i=0}^n{C}_n^i$，又相等，$/2$即为$2^{n-1}$

②假设$n$为偶数
$$C_n^0+C_n^2+...+C_n^n=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+C_{n-1}^4+...+C_{n-1}^{n-1}+C_{n-1}^n$$
$$C_n^1+C_n^3+...+C_n^{n-1}=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+...+C_{n-1}^{n-2}+C_{n-1}^{n-1}$$
仍然两两对应相等，第一个式子多出来的$C_{n-1}^n=0$，后面的方法与奇数情况一样，不赘述

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性质七

$$C_{n+m}^r=\sum _{i=0}^{min(n,m,r)}\{C_n^i\ast C_m^{r-i}\}$$
$$C_{n+m}^n=C_{n+m}^m=\sum _{i=0}^{min(n,m)}\{C_n^i\ast C_m^i\},(r=n||r=m)$$

证明：
用组合数意义理解
把$n+m$个分成$n$个一组，$m$个一组，总共选$r$个，相当于$n$个中选$i$个，$m$个中选$r-i$个

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性质八

$$m\ast C_n^m=n\ast C_{n-1}^{m-1}$$

证明：
$$m\ast C_n^m=m\ast \frac{n!}{m!\ast (n-m)!}=n\ast \frac{(n-1)!}{(m-1)!\ast (n-m)}=n\ast C_{n-1}^{m-1}$$

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性质九

$$\sum _{i=0}^n\{C_n^i\ast i\}=n\ast 2^{n-1}$$

证明：
$$\sum _{i=0}^n\{C_n^i\ast i\}=\sum _{i=1}^n\{\frac{n!}{i!\ast (n-i)!}\ast i\}=\sum _{i=1}^n\frac{n!}{(i-1)!\ast (n-i)!}$$$$=\sum _{i=1}^n\{n\ast \frac{(n-1)!}{(i-1)!\ast (n-i)!}\}=n\ast \sum _{i=1}^n{C}_{n-1}^{i-1}=n\ast \sum _{i=0}^{n-1}{C}_{n-1}^i=n\ast 2^{n-1}$$

由性质四可知，${\sum }_{i=0}^n{C}_n^i=2^n,{\sum }_{i=0}^{n-1}{C}_{n-1}^i=2^{n-1}$

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性质十

$$\sum _{i=0}^n\{C_n^i\ast i^2\}=n\ast (n+1)\ast 2^{n-2}$$

证明：
利用性质九
$$\sum _{i=0}^n\{C_n^i\ast i^2\}=\sum _{i=0}^n\{\frac{n!}{i!\ast (n-i)!}\ast i\ast (i-1+1)\}$$$$=\sum _{i=0}^n\{\frac{n!}{i!\ast (n-i)!}\ast i+\frac{n!}{i!\ast (n-i)!}\ast i\ast (i-1)\}$$$$=\sum _{i=0}^n\{C_n^i\ast i\}+\sum _{i=1}^n\{\frac{n!}{(i-1)!\ast (n-i)!}\ast (i-1)\}$$$$=n\ast 2^{n-1}+n\ast \sum _{i=1}^n\{\frac{(n-1)!}{(i-1)!\ast (n-i)!}\ast (i-1)\}$$$$=n\ast 2^{n-1}+n\ast \sum _{i=1}^n\{C_{n-1}^{i-1}\ast (i-1)\}=n\ast 2^{n-1}+n\ast \sum _{i=0}^{n-1}\{C_{n-1}^i\ast i\}$$$$=n\ast 2^{n-1}+n\ast (n-1)\ast 2^{n-2}=(n\ast 2+n\ast (n-1))\ast 2^{n-2}=n\ast (n+1)\ast 2^{n-2}$$

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性质十一

$$\sum _{i=0}^n\{(C_n^i{)}^2\}=C_{2\ast n}^n$$

证明：
根据性质七易证

$$\sum _{i=0}^n\{(C_n^i{)}^2\}=\sum _{i=0}^n\{C_n^i\ast C_n^{n-i}\}=C_{n+n}^n=C_{2\ast n}^n$$

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错排数

把$n$个分别写有$1-n$的球放进$n$个固定的分别写有$1-n$的盒子里，每个盒子里正好有一个球且盒子上的数字与盒中球的数字都不相同的方案数，记作$D(n)$

递推式：

$$D(n)=(n-1)\ast (D(n-1)+D(n-2))D(1)=0,D(2)=1$$

证明：
第一个盒子有$n-1$种球可以放（除了一号球），假设第一个盒子放的$i$号球，则有两种情况
①恰好第$i$个盒子放的球就是一号球，则剩下的$n-2$个球继续错排，方案数为$D(n-2)$
②第$i$个盒子放的不是一号球，此时形成了一条新的限制：一号球不能放进$i$号盒
除去第一个盒子和$i$号球的剩下$n-1$个球和$n-1$个盒子，继续错排的方案数为$D(n-1)$