函数与极限(2)—函数的连续性

函数的连续性与间断点

函数的连续性

1. 设函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 的某一邻域内有定义，如果 limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0 lim Δ x → 0 Δ y = lim Δ x → 0 [ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] = 0 ，那么就称函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 连续
2. 设函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 的某一邻域内有定义，如果 limx→x0f(x)=f(x0) lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) ，那么就称函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 连续
3. 如果 limx→x−0f(x)=f(x−0) lim x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 − ) 存在且等于 f(x0) f ( x 0 ) ，即 f(x−0)=f(x0) f ( x 0 − ) = f ( x 0 ) ，就说函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 左连续；如果 limx→x+0f(x)=f(x+0) lim x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 + ) 存在且等于 f(x0) f ( x 0 ) ，即 f(x+0)=f(x0) f ( x 0 + ) = f ( x 0 ) ，就说函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 右连续
4. 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上连续函数，或者说函数在该区间上连续

函数的间断点

1. 设函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数 f(x) f ( x ) 有下列三种情形之一：
   
   1. 在 x=x0 x = x 0 没有定义；
   2. 虽在 x=x0 x = x 0 有定义，但 limx→x0f(x) lim x → x 0 f ( x ) 不存在；
   3. 虽在 x=x0 x = x 0 有定义，且 limx→x0f(x) lim x → x 0 f ( x ) 存在，但 limx→x0f(x)≠f(x0) lim x → x 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 ) ，
   4. 则函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 为不连续，而点 x0 x 0 称为函数 f(x) f ( x ) 的不连续点或间断点。常见间断点：无穷间断点、震荡间断点、可去间断点、跳跃间断点
2. 若间断点的左右极限都存在，那么间断点称为函数 f(x) f ( x ) 的第一类间断点，否则称为第二类间断点

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

设函数 f(x) f ( x ) 和 g(x) g ( x ) 在点 x0 x 0 连续，则它们的和（差） f±g f ± g 、积 f⋅g f ⋅ g 及商 fg f g （当 g(x0)≠0 g ( x 0 ) ≠ 0 时）都在点 x0 x 0 连续

反函数与复合函数的连续性

1. 如果函数 y=f(x) y = f ( x ) 在区间 Ix I x 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 x=f−1(y) x = f − 1 ( y ) 也在对应的区间 Iy={y|y=f(x),x∈Ix} I y = { y | y = f ( x ) , x ∈ I x } 上单调增加（或单调减少）且连续
2. 设函数 y=f[g(x)] y = f [ g ( x ) ] 由函数 u=g(x) u = g ( x ) 与函数 y=f(x) y = f ( x ) 复合而成， U˚(x0)⊂Df∘g U ˚ ( x 0 ) ⊂ D f ∘ g 。若 limx→x0g(x)=u0 lim x → x 0 g ( x ) = u 0 ，而函数 y=f(u) y = f ( u ) 在 u=u0 u = u 0 连续，则 limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=f(u0) lim x → x 0 f [ g ( x ) ] = lim u → u 0 f ( u ) = f ( u 0 )
3. 设函数 y=f[g(x)] y = f [ g ( x ) ] 是由函数 u=g(x) u = g ( x ) 与函数 y=f(u) y = f ( u ) 复合而成， U(x0)⊂Df∘g U ( x 0 ) ⊂ D f ∘ g 。若函数 u=g(x) u = g ( x ) 在 x=x0 x = x 0 连续，且 g(x0)=u0 g ( x 0 ) = u 0 ，而函数 y=f(u) y = f ( u ) 在 u=u0 u = u 0 连续，则复合函数 y=f[g(x)] y = f [ g ( x ) ] 在 x=x0 x = x 0 也连续

初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。定义区间就是包含在定义域内的区间

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

1. 对于在区间 I I 上有定义的函数 f(x) f ( x ) ，如果有 x0∈I x 0 ∈ I ，使得对于任一 x∈I x ∈ I 都有 f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0)) f ( x ) ≤ f ( x 0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x 0 ) ) ，则称 f(x0) f ( x 0 ) 是函数 f(x) f ( x ) 在区间 I I 上的最大值（最小值）
2. 有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

零点定理与介值定理

1. 零点定理：设函数 f(x) f ( x ) 在闭区间 [a,b] [ a , b ] 上连续，且 f(a) f ( a ) 与 f(b) f ( b ) 异号（即 f(a)⋅f(b)<0 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 ），那么在开区间 (a,b) ( a , b ) 内至少有一点 ξ ξ ，使得 f(ξ)=0 f ( ξ ) = 0
2. 介值定理：设函数 f(x) f ( x ) 在闭区间 [a,b] [ a , b ] 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A f ( a ) = A 及 f(b)=B f ( b ) = B ，那么，对于 A A 与 B B 之间的任意一个数 C C ，在开区间 (a,b) ( a , b ) 内至少有一点 ξ ξ ，使得 f(ξ)=C(a<ξ<b) f ( ξ ) = C ( a < ξ < b )
3. 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M M 与最小值 m m 之间的任何值

一致连续性

1. 设函数 f(x) f ( x ) 在区间 I I 上有定义，如果对于任意给定的正数 ϵ ϵ ，总存在着正数 δ δ ，使得对于区间 I I 上任意两点 x1、x2 x 1 、 x 2 ，当 |x1−x2|<δ | x 1 − x 2 | < δ 时，就有 |f(x1)−f(x2)|<ϵ | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | < ϵ ，那么称函数 f(x) f ( x ) 在区间 I I 上是一致连续的
2. 一致连续性定理：如果函数 f(x) f ( x ) 在闭区间 [a,b] [ a , b ] 上连续，那么它在该区间上一致连续