【莫比乌斯反演】BZOJ4018 小Q的幻想之乡

【题目】
原题地址
题目可以转化为给定 N,M N , M ,求 ∑Ni=1∑Mj=1|i−j|gcd(i,j) ∑ i = 1 N ∑ j = 1 M | i − j | gcd ( i , j )

【题目分析】
这种题就是反演辣，不过我不是很会，直接搬过来了大佬的blog

【解题思路】

∑i=1N∑j=1M|i−j|gcd(i,j)=∑i=1N∑j=1M∑d|i−j|gcd(i,j)[d=gcd(i,j)]=∑d∑i=1⌊Nd⌋∑j=1⌊Md⌋|i−j|[gcd(i,j)=1]=∑d∑i=1⌊Nd⌋∑j=1⌊Md⌋|i−j|∑d′|gcd(i,j)μ(d′)=∑d∑d′d′μ(d′)∑i=1⌊Ndd′⌋∑j=1⌊Mdd′⌋|i−j|=∑d∑d′|dd′μ(d′)∑i=1⌊Nd⌋∑j=1⌊Md⌋|i−j| ∑ i = 1 N ∑ j = 1 M | i − j | gcd ( i , j ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 M ∑ d | i − j | gcd ( i , j ) [ d = gcd ( i , j ) ] = ∑ d ∑ i = 1 ⌊ N d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ M d ⌋ | i − j | [ gcd ( i , j ) = 1 ] = ∑ d ∑ i = 1 ⌊ N d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ M d ⌋ | i − j | ∑ d ′ | gcd ( i , j ) μ ( d ′ ) = ∑ d ∑ d ′ d ′ μ ( d ′ ) ∑ i = 1 ⌊ N d d ′ ⌋ ∑ j = 1 ⌊ M d d ′ ⌋ | i − j | = ∑ d ∑ d ′ | d d ′ μ ( d ′ ) ∑ i = 1 ⌊ N d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ M d ⌋ | i − j |

然后后面只和 Nd,Md N d , M d 有关的柿子：设 A=min(Nd,Md),B=max(Nd,Md) A = min ( N d , M d ) , B = max ( N d , M d )
于是：

∑i=1A∑j=1B|i−j|=(A−1)A(A+1)3+AB(B−A)2 ∑ i = 1 A ∑ j = 1 B | i − j | = ( A − 1 ) A ( A + 1 ) 3 + A B ( B − A ) 2

前面的：令 f(n)=∑d|ndμ(d) f ( n ) = ∑ d | n d μ ( d ) ，是个积性函数，那么：
当 n n 为质数， f(n)=1∗μ(1)+n∗μ(n)=1−n f ( n ) = 1 ∗ μ ( 1 ) + n ∗ μ ( n ) = 1 − n 。
当 n n 的最小质因数 p p 只出现一次： f(n)=f(np)+f(np)∗μ(p)=f(np)f(p) f ( n ) = f ( n p ) + f ( n p ) ∗ μ ( p ) = f ( n p ) f ( p )
出现多次： f(n)=f(np)+f(np)∗0=f(np) f ( n ) = f ( n p ) + f ( n p ) ∗ 0 = f ( n p )

询问下底分块即可。

事实上反演的步骤我自己推了出来，但是后面的柿子处理以及积性函数推导不太会，然后就弃疗了。。。

【参考代码】

#include
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=2e6+10;
const int mod1=1e9+7;
const int mod2=1e9+9;
int n,m,cas,prinum,ans1,ans2;
int vis[N],pri[N],f[N][2];

void add(int &x,int y,int mod){(x+=y)%=mod;}

int F(int A,int B,int mod)
{
    if(!A || !B) return 0;
    if(A>B) swap(A,B);
    int c1=1ll*(A-1)*A*(A+1)/3ll%mod;
    int c2=1ll*A*B*(B-A)/2ll%mod;
    add(c1,c2,mod);
    return c1;
}

void init()
{
    f[1][0]=f[1][1]=1;
    for(int i=2;iif(!vis[i])
        {
            pri[++prinum]=i;
            f[i][0]=mod1-i+1;f[i][1]=mod2-i+1;
        }
        for(int j=1;j<=prinum && 1ll*i*pri[j]1;
            if(i%pri[j])
            {
                f[i*pri[j]][0]=1ll*f[i][0]*f[pri[j]][0]%mod1;
                f[i*pri[j]][1]=1ll*f[i][1]*f[pri[j]][1]%mod2;
            }
            else
            {
                f[i*pri[j]][0]=f[i][0];f[i*pri[j]][1]=f[i][1];
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i0],f[i-1][0],mod1),add(f[i][1],f[i-1][1],mod2);
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("BZOJ4018.in","r",stdin);
    freopen("BZOJ4018.out","w",stdout);
#endif
    init();
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);ans1=ans2=0;
        if(n>m) swap(n,m);
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            add(ans1,1ll*(f[j][0]-f[i-1][0]+mod1)*F(n/i,m/i,mod1)%mod1,mod1);
            add(ans2,1ll*(f[j][1]-f[i-1][1]+mod2)*F(n/i,m/i,mod2)%mod2,mod2);       
        }
        printf("%d %d\n",ans1,ans2);
    }

    return 0;
}

【总结】
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