【莫比乌斯反演】BZOJ4174 tty的求助

【题目】
原题地址
求${\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^M{\sum }_{k=0}^{m-1}\lfloor \frac{nk+x}{m}\rfloor mod998244353$

【题目分析】
有下取整的东西并没有见过qwq，大概试着化了一下，没有见过这种技巧很难做出来。

【解题思路】
根据popoqqq的说法，如果我们知道$n$和$m$，我们要求的东西等价于：
${\sum }_{k=0}^{m-1}\lfloor \frac{nk+x}{m}\rfloor$
$={\sum }_{k=0}^{m-1}(\lfloor \frac{nk\%m+x}{m}\rfloor +\frac{nk-nk\%m}{m})$
$={\sum }_{k=0}^{m-1}(\lfloor \frac{nk\%m+x}{m}\rfloor +\frac{nk}{m}-\frac{nk\%m}{m})$

那么这个柿子是可以拆开每一项来考虑的，后面两项的结构比较简单，重点在第一个带x的柿子。
令$d=gcd(n,m)$，则：
${\sum }_{k=0}^{m-1}(\lfloor \frac{nk\%m+x}{m}\rfloor )$
$=d\ast {\sum }_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}\lfloor \frac{kd+x}{m}\rfloor$
$=d\ast (\frac{m}{d}\ast \frac{x-x\%m}{m}+{\sum }_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}\lfloor \frac{kd+x\%m}{m}\rfloor )$
$=d\ast (\frac{m}{d}\ast \frac{x-x\%m}{m}+{\sum }_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}[kd+x\%m\ge m])$
$=d\ast (\frac{x-x\%m}{d}+\lfloor \frac{x\%m}{d}\rfloor )$
$=d\ast \lfloor \frac{x}{d}\rfloor$

倒数第三步的原因是$kd$和$x\%m$都小于$m$，因此取值只能是0或1.
上面的倒数第二步的后面一项我看了挺久才看懂qwq，我太菜了。
其实这步要求，的就是$kd+x\%m\ge m$的数量，那么移项可以得到$x\%m\ge m-kd$，即$\lfloor \frac{x\%m}{d}\rfloor \ge \frac{m}{d}-k$，因为$k$是$[0,\frac{m}{d}-1]$，所以实际上$\lfloor \frac{x\%m}{d}\rfloor$就是满足不等式的$k$数目。

其余的两项通过推导分别可以得到：
${\sum }_{k=0}^{m-1}\frac{nk}{m}=\frac{n}{m}\ast \frac{m\ast (m-1)}{2}=\frac{n\ast m-n}{2}$
${\sum }_{k=0}^{m-1}\frac{nk\%m}{m}=d\ast {\sum }_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}\frac{kd}{m}=\frac{d^2}{m}\ast \frac{(\frac{m}{d}-1)\ast \frac{m}{d}}{2}=\frac{m-d}{2}$

那么最终的答案就是：
${\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^M(d\ast \lfloor \frac{x}{d}\rfloor +\frac{n\ast m-n}{2}-\frac{m-d}{2})$
$=\frac{1}{2}\ast {\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^M(2\ast d\ast \lfloor \frac{x}{d}\rfloor +d+n\ast m-n-m)$
$=\frac{1}{2}\ast (S(N)\ast S(M)-S(N)\ast m-S(M)\ast n+{\sum }_{d=1}^{min(N,M)}(d+2\ast d\ast \lfloor \frac{x}{d}\rfloor ){\sum }_{k=1}^{min(\lfloor \frac{N}{d}\rfloor ,\lfloor \frac{M}{d}\rfloor )}\mu (k)\ast \lfloor \frac{N}{d\ast k}\rfloor \ast \lfloor \frac{M}{d\ast k}\rfloor )$
其中$S(x)=\frac{x\ast (x+1)}{2}$
$O(nlogn)$枚举$d$和$k$即可。

【参考代码】

#include
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL mod=998244353;
const int N=5e5+10;
int n,m,x,pnum,mu[N],bo[N],pri[N];
LL ans;

void init()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;im) swap(n,m);
	ans=((sum(n)*sum(m)-sum(n)*m-sum(m)*n)%mod+mod)%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		LL tmp=i+x/i*i*2;
		for(int j=1;i*j<=n;++j) (ans+=tmp*mu[j]%mod*(n/i/j)%mod*(m/i/j)%mod)%=mod;
	}
	printf("%lld\n",(ans*((mod+1)/2ll))%mod);
	return 0;
}