时频域能量相等（parseval定理）

帖子-时域和频域能量相等
Parseval 定理

　　有限上序列x{k}的离散fourier变换是正交变换，满足Parseval能量守恒定理，反映了序列在时域的能量等于其变换域的能量。
　　关于能量定义：信号幅度平方的积分，如果是数字信号，能量就是各点信号幅度值平方后的求和。
　　论坛帖子中关于等式关系给出的结论是：

求和 (x(tn)^2)T=RMS^2*Ttotal=求和(P(fn))△f*Ttotal
其中，x(tn)是n个x(t)时域采样数据，T是时间间隔，Ttotal是时间总长，
P(fn)是第n个功率谱密度值，△f是FFT频率间隔

　最后的结论是相等的，但是信号的能量到底是sum(x.^2)，还是sum(x.^2)*T？按照定义来说是前者没错。但是绝对的能量计算若不跟采样频率（采样间隔）结合起来，又有什么对比作用？
　同样1000个点幅值为1，一组波形是1秒内采到的，另一组波形是10秒内采到的，按公式算，信号的能量相等，按sum(x.^2)*T计算，10秒采集到的波形的能量更大。
　现实情况中，比较两个波形的能量或有效值，都是采样率相同，采样时间相同，所有不会遇到如此纠结的问题。
　 生成一组信号：

fs=1000;

>> N=1000;
>> n=0:N-1;
>> t=n/fs;
>> x=sin(2*pi*100*t);
>> nfft=1024;
>> deltF=fs/nfft;
>> window=hanning(N);
>> %直接法，periodogram函数得到的功率谱密度
>>[Pxx_period,f_period]=periodogram(x,window,nfft,fs); 
> noverlap=50; 
>>[Pxx_welch,f_welch]=pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs);

计算原始信号的有效值为： 0.0224
画出频谱与功率谱密度为：

幅值谱的幅值理论上应为1，不到1的原因是fft变换的点数与采样点数不同所致。
利用FFT幅值谱的平方/N ,画功率谱密度结果跟上右图差不多。

 xw=1.633*x.*window';     % 加汉宁窗(恢复系数为1.633)，能量修正系数使加窗后能量保证不变
mag=abs(fft(xw,nfft));
Pxx_1=mag.^2/N/fs;
f=(0:nfft/2-1)/nfft*fs;
plot(f,Pxx_11(1:512)*2),title('Pxx_11')

关于功率谱密度计算，先做自相关计算，再做FFT也能得到功率谱密度。
最后结果为：

summary：
当采样点数=nfft时，deltF*N/fs=1;
　　功率谱密度直接求和即是频域能量。
　　用幅值谱的平方估计频域能量时，除完点数，还要除以采样频率。
　　时域能量要*采样间隔（1/fs）
有效值的平方*采样时间=时域能量；

http://www.ilovematlab.cn/thread-438178-1-2.html