交流电机Clark变换中的功率不变约束与幅值不变约束

对符号进行说明如下：

• $\omega$ —— 相电流角频率
• $P_1,P_2$ —— 变换前后的功率
• $N_2,N_3$ —— 分别为两相和三相相绕组等效匝数
• $i_a,i_b,i_c$ —— 电机三相相电流，设为正弦量，且时间相位上互差120°；
• $u_a,u_b,u_c$ —— 电机三相相电压
• $u_{\alpha },i_{\alpha },u_{\beta },i_{\beta }$ —— 两相静止坐标系下的电压和电流矢量

明确点

首先明确无论采用何种变换，必须保证电机气隙内磁动势相同，也即变换前后磁动势必须等效，根据下图可知，利用几何关系有：

$$\{\begin{array}{l}{N}_3{i}_a-\frac{1}{2}{N}_3{i}_b-\frac{1}{2}{N}_3{i}_c=N_2{i}_{\alpha }\\ \frac{\sqrt{3}}{2}{N}_3{i}_b-\frac{\sqrt{3}}{2}{N}_3{i}_c=N_2{i}_{\beta }\end{array}\text{\hspace{1em}(1-1)}$$
$$⟹\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\frac{N_3}{N_2}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1-2)}$$
设$k=\frac{N_3}{N_2}$，根据不同的约束可以推导出不同$k$值。

恒幅值约束

恒幅值约束在于变量在变换前后的幅值不变，因为三相电流都为正弦量，且时间相位上互差120°，因此：
$$\{\begin{array}{l}{i}_a=Icos(\omega t)\\ i_b=Icos(\omega t+120)\\ i_c=Icos(\omega t-120)\end{array}\text{\hspace{1em}(2-1)}$$
将式(2-1)带入式(1-2)，且$i_a+i_b+i_c=0$，可以得到：
$$\begin{gathered} i_{\alpha }=k(i_a-\frac{1}{2}{i}_b-\frac{1}{2}{i}_c)=\frac{3}{2}k{i}_a=\frac{3}{2}kIcos(\omega t) \\ {i}_{\beta }=\frac{\sqrt{3}}{2}k(i_b-i_c)=\frac{\sqrt{3}}{2}kI[cos(\omega t+120)-cos(\omega t-120)]=-\frac{3}{2}kIsin(\omega t)\text{\hspace{1em}(2-2)} \end{gathered}$$
由式(2-2)可知，要想保证变换前后幅值不变，则有：
$$\{\begin{array}{l}|\frac{3}{2}kI|=I\\ |-\frac{3}{2}kI|=I\end{array}\text{\hspace{1em}(2-3)}$$
求解式(2-3)即得$k=\frac{2}{3}$。

恒功率约束

恒功率约束在于变换前后通入的功率保持不变，即输入三相功率等于变换后的两相功率。变换前的功率比较容易，三相电压电流瞬时值相乘即可：
$$P_1=u_a{i}_a+u_b{i}_b+u_c{i}_c\text{\hspace{1em}(3-1)}$$
如果取与电流变换相同的变换阵，则有：
$$\begin{gathered} u_{\alpha }=k(u_a-\frac{1}{2}{u}_b-\frac{1}{2}{u}_c) \\ {u}_{\beta }=\frac{3}{2}k(u_b-u_c)\text{\hspace{1em}(3-2)} \end{gathered}$$
变换后的功率与变换前的功率计算式类似，有：
$$P_2=u_{\alpha }{i}_{\alpha }+u_{\beta }{i}_{\beta }\text{\hspace{1em}(3-3)}$$
将式(2-2)与式(3-2)带入式(3-3)可知：
$$\begin{gathered} P_2=\frac{3}{2}{k}^2(u_a-\frac{1}{2}{u}_b-\frac{1}{2}{u}_c)i_a+\frac{3}{4}{k}^2(u_b-u_c)(i_b-i_c) \\ =\frac{3}{4}{k}^2{u}_a{i}_a+\frac{3}{4}{k}^2{u}_b{i}_b+\frac{3}{4}{k}^2{u}_c{i}_c+ \\ \frac{3}{4}{k}^2{u}_a{i}_a-\frac{3}{4}{k}^2{u}_b{i}_a-\frac{3}{4}{k}^2{u}_c{i}_a-\frac{3}{4}{k}^2{u}_c{i}_b-\frac{3}{4}{k}^2{u}_b{i}_c \\ =\frac{3}{4}{k}^2{P}_1+\frac{3}{4}{k}^2(u_a{i}_a-u_b{i}_a-u_c{i}_a-u_c{i}_b-u_b{i}_c)\text{\hspace{1em}(3-4)} \end{gathered}$$
利用$-i_a=i_b+i_c$带入式(3-4)中的$-u_b{i}_a-u_c{i}_a$部分，则可继续展开得到：
$$\begin{gathered} P_2=\frac{3}{4}{k}^2{P}_1+\frac{3}{4}{k}^2(u_a{i}_a+u_b{i}_b+u_b{i}_c+u_c{i}_b+u_c{i}_c-u_c{i}_b-u_b{i}_c) \\ =\frac{3}{4}{k}^2{P}_1+\frac{3}{4}{k}^2(u_a{i}_a+u_b{i}_b+u_c{i}_c) \\ =\frac{3}{4}{k}^2{P}_1+\frac{3}{4}{k}^2{P}_1 \\ =\frac{3}{2}{k}^2{P}_1\text{\hspace{1em}(3-5)} \end{gathered}$$
为了保证功率不变，则需要$P_2=P_1$，有：
$$P_2=\frac{3}{2}{k}^2{P}_1=P_1\text{\hspace{1em}(3-6)}$$
显然，此使$k=\sqrt{\frac{2}{3}}$。

Note

注意到，采用恒幅值变化后，功率发生了变化：
$$P_2=\frac{3}{2}{k}^2{P}_1=\frac{2}{3}{P}_1$$
因此导致最终推导电机转矩计算式时会产生差异。