大话数据结构之算法的基本概念

算法

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性

• 输入输出：算法具有零个或多个输入，至少有一个或多个输出。
• 有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每个步骤都在可接受的时间内完成。
• 确定性：算法的每一个步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。
• 可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都可以通过执行有限次数完成。

算法设计的要求

• 正确性：指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
• 可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
• 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
• 时间效率高：设计算法应该尽量满足时间效率高的需求。
• 存储量低:设计算法应该尽量满足存储量低的需求。

算法效率的度量方法

• 事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。（不推荐）
• 事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。

函数的渐近增长

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。
判断一个算法的效率时，函数中的常数和其它次要项常常可以忽略，而更应该关注主项(最高阶项)的阶数。
某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。

算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

推导大O阶方法

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶

• 常数阶：与问题的大小(n的多少)无关，执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
• 线性阶：关键分析循环结构的运行情况
• 对数阶：比如while循环，做了多少次操作后大于n，退出循环，比如2的x次方，那么x就是以2为底n的对数，时间复杂度就是O(logn)
• 平方阶：比如嵌套循环

常见的时间复杂度

• 常数阶：O(1)
• 线性阶：O(n)
• 平方阶：O(n²)
• 对数阶：O(logn)
• nlogn阶：O(nlogn)
• 立方阶：O(n³)
• 指数阶：O(2ⁿ)
• 时间复杂度耗时排序：O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

最坏情况与平均情况

• 最坏情况：最坏情况运行时间是一种保证，不会比最坏的情况更差了，应用中这是一种重要的需求，算法分析，一般都是最坏情况
• 平均情况：平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。一般都是通过大量数据测试出来，很难提前预估

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。