大话数据结构之算法的基本概念

算法

算法是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性
  • 输入输出:算法具有零个或多个输入,至少有一个或多个输出。
  • 有穷性:指算法在执行有限的步骤之后,自动结束而不会出现无限循环,并且每个步骤都在可接受的时间内完成。
  • 确定性:算法的每一个步骤都具有确定的含义,不会出现二义性。
  • 可行性:算法的每一步都必须是可行的,也就是说,每一步都可以通过执行有限次数完成。
算法设计的要求
  • 正确性:指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
  • 可读性:算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
  • 健壮性:当输入数据不合法时,算法也能做出相关处理,而不是产生异常或莫名其妙的结果。
  • 时间效率高:设计算法应该尽量满足时间效率高的需求。
  • 存储量低:设计算法应该尽量满足存储量低的需求。
算法效率的度量方法
  • 事后统计方法:这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据,利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较,从而确定算法效率的高低。(不推荐)
  • 事前分析估算方法:在计算机程序编制前,依据统计方法对算法进行估算。一个程序的运行时间,依赖于算法的好坏和问题的输入规模。
函数的渐近增长

函数的渐近增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大,那么,我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。
判断一个算法的效率时,函数中的常数和其它次要项常常可以忽略,而更应该关注主项(最高阶项)的阶数。
某个算法,随着n的增大,它会越来越优于另一算法,或者越来越差于另一算法。

算法时间复杂度定义

在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

推导大O阶方法
  1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
  2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
  3. 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶
  • 常数阶:与问题的大小(n的多少)无关,执行时间恒定的算法,我们称之为具有O(1)的时间复杂度,又叫常数阶。
  • 线性阶:关键分析循环结构的运行情况
  • 对数阶:比如while循环,做了多少次操作后大于n,退出循环,比如2的x次方,那么x就是以2为底n的对数,时间复杂度就是O(logn)
  • 平方阶:比如嵌套循环
常见的时间复杂度
  • 常数阶:O(1)
  • 线性阶:O(n)
  • 平方阶:O(n²)
  • 对数阶:O(logn)
  • nlogn阶:O(nlogn)
  • 立方阶:O(n³)
  • 指数阶:O(2ⁿ)
  • 时间复杂度耗时排序:O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)
最坏情况与平均情况
  • 最坏情况:最坏情况运行时间是一种保证,不会比最坏的情况更差了,应用中这是一种重要的需求,算法分析,一般都是最坏情况
  • 平均情况:平均运行时间是所有情况中最有意义的,因为它是期望的运行时间。一般都是通过大量数据测试出来,很难提前预估
算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)=O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

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