树状数组 --- （离散化+树状数组、求逆序对）

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There are N integers (1<=N<=65537) A1, A2,.. AN (0<=Ai<=10^9). You need to find amount of such pairs (i, j) that 1<=i<j<=N and A[i]>A[j].

Input

The first line of the input contains the number N. The second line contains N numbers A1...AN.

Output

Write amount of such pairs.

Sample Input

Sample test(s)

Input

5
2 3 1 5 4

Output

3

 

【题目来源】：BUN

【题目大意】：求逆序对的个数

【题目分析】

求逆序对有很多方法，比如说用合并排序、分治、树状数组、线段树，甚至连暴力(冒泡排序)也可以做，但是要注意会不会超时。

这里就讲一下树状数组的方法，这一题最有意思的是离散化的方法，这个方法在处理大数据的排序方面很有用，离散化能够有效的降低时空复杂度，他可以改进一个低效的算法。除了加上了一个离散化，其他的用树状数组就可以解决。

1、什么是离散化？

用我的理解来说就是一种映射，为什么能用离散化呢？或者说离散化能用在哪些方面呢？

举个例子说吧 ，在排序、求逆序对这些和顺序有关的题目中就能用离散化。搜索帖子你会发现有各种说法，比如“排序后处理”、“对坐标的近似处理”等等。哪个是对的呢？哪个都对。关键在于，这需要一些例子和不少的讲解才能完全解释清楚。

下面就模拟一个数列的离散化：
首先定义一个结构体：

 

struct Node

{

    long long num;

    int index;

};

Node node[MAX];

和一个数组a[MAX],然后输入五个数：8 1 6 7 4

for(i=1;i<=n;++i)

{

    scanf("%lld",&node[i].num);

    node[i].index=i;

}

node[i].num存储了数组的值，而node[i].index存储的是他的下标，也就是序号。

按照num来进行排序：

 

bool cmp(Node a,Node b)

{

    return a.num<b.num;

}

stable_sort(node+1,node+n+1,cmp); /**< 这是一个重点，后面会单独讲一下。 */

 

排好序以后再用：

 

for(i=1;i<=n;i++)

{

    a[node[i].index]=i;

}

 这样就将原来的8 1 6 7 4转化为5 1 3 4 2，比较一下这个序列和原来的序列有什么区别？你会发现他记录了原来数组的大小和元素顺序，这两个就通过离散化很好的结合在一起了，而且将原来很大的数据压缩为一串从1开始的连续的数，大大降低了时空复杂度。

然后问题就简单了，将a数组更新到树状数组当中去，进行统计就出答案了。

 

开始的时候我一直都没弄清楚树状数组是怎么实现求逆序对的，后来也是看别人的博客，模拟了一下才搞懂的。

原理是什么呢？

在插入a[i]之前，我们先统计比a[i]小的数或等于a[i]的数有几个，也就是getsum(a[i])，然后再用i-getsum(a[i])，这样就得到了在他前面并且比他大的数据的个数。这样也很好理解，总数-小于或等于本身的个数=大于本身的个数，先更新再统计。

还有这题需要用long long ,开始的时候没想到害我wrong了好多次，然后静下心来算了一算发现确实要用long long，在从下往上累加的时候，最上面的那个数最大时相当于65537的平方，65537的平方就是四十多亿，int最多二十亿，妥妥的超了。用long long就过了。还有一个细节，就是当输入的序列中有数字相同时要怎么处理？首先处理这个问题时你得透彻的知道离散化的过程。

有两种解决方法：

方法一：在离散化的过程中进行处理，也就是在离散化过程中遇到两个数相同时，你得将它标记为两个数，这样就避免了相同时只计算一个数这种情况。

具体怎么来实现呢？很简单，看代码，不解释：

 

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

                scanf("%d",&a[i].y);

                a[i].x=i;

        }

        //qsort(a+1,n,sizeof(a[1]),cmp);

        sort(a+1,a+n+1,cmp);

        b[1]=1;

        x1=1;

        for(i=2;i<=n;i++)       

        {

                if(a[i].y==a[i-1].y)

                        b[a[i].x]=x1;

               else

                        b[a[i].x]=++x1;

        }

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

                update(b[i],1);

                num+=i-sum(b[i]);

        }

 

方法二:直接用stable_sort,即：

 

 stable_sort(node+1,node+n+1,cmp);

 

现在就来讲一下sort和stable_sort的区别：

这两个函数的原理都是快速排序，时间复杂度在所有排序中最低，为O(nlog2n) ;但是stable_sort要稍微慢一点。

sort的应用；

1、可以传入两个参数；

     sort(a,a+N) ,其中a是数组，a+N表示对a[0]至a[N-1]的N个数进行排序(默认从小到大排序)；

2、传入三个参数；

     sort(a,a+N,cmp),第三个参数是一个函数 ；

     如果让函数从大到小排序，可以用如下算法实现；

      bool cmp(int a,int b){return a>b};

      sort(A,A+N,cmp);

而stable_sort的用法与sort一致，区别是stable_sort函数遇到两个数相等时，不对其交换顺序；这个应用在数组里面不受影响，当函数参数传入的是结构体时，会发现两者之间的明显区别。

这题如果在离散化的时候不进行处理，后面又用sort，肯定妥妥的跪了，我就是这样啊，血的教训。。。

最好的解决办法就是不管什么情况下都用stable_sort,这样就不会出现这种问题了。

下面贴一下代码：

 方法一：

 

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

#include<algorithm>

using namespace std;

struct point

{

	int x,y;

}a[65540];

int b[65540],c[65540];

int cmp(point a,point b)

{

	return a.y<b.y;

}

int lowbit(int x)

{

	return x&(-x);

}

void update(int x,int y)

{

	while(x<=65537)

	{

		c[x]+=y;

		x+=lowbit(x);

	}

}

int sum(int x)

{

	int sum=0;

	while(x>0)

	{

		sum+=c[x];

		x-=lowbit(x);

	}

	return sum;

}

int main()

{

	int n,i,x1;

	__int64 num;

	while(scanf("%d",&n)!=EOF)

	{

		num=0;

		memset(a,0,sizeof(a));

		memset(b,0,sizeof(b));

		memset(c,0,sizeof(c));

	for(i=1;i<=n;i++)

	{

		scanf("%d",&a[i].y);

		a[i].x=i;

	}

	//qsort(a+1,n,sizeof(a[1]),cmp);

	sort(a+1,a+n+1,cmp);

	b[1]=1;

	x1=1;

	for(i=2;i<=n;i++)       

	{

		if(a[i].y==a[i-1].y)

			b[a[i].x]=x1;

               else

			b[a[i].x]=++x1;

	}

	for(i=1;i<=n;i++)

	{

		update(b[i],1);

		num+=i-sum(b[i]);

	}

	printf("%I64d\n",num);

	}

	return 0;

}

 

方法二：

 

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<cstdlib>

#define MAX 70000

using namespace std;

long long tree[MAX];

long long a[MAX];

struct Node

{

    long long num;

    int index;

};

Node node[MAX];

bool cmp(Node a,Node b)

{

    return a.num<b.num;

}

int lowbit(int x)

{

    return x&(-x);

}

void update(int x)

{

    while(x<MAX)

    {

        tree[x]++;

        x+=lowbit(x);

    }

}

int getsum(int x)

{

    int sum=0;

    while(x>0)

    {

        sum+=tree[x];

        x-=lowbit(x);

    }

    return sum;

}

int main()

{

    int n;

    while(scanf("%d",&n)!=EOF)//这题不能用while(scanf("%d",&n),n),为此wrong了n次

    {

        memset(tree,0,sizeof(tree));

        int i,j,k,l;

        for(i=1;i<=n;++i)

        {

            scanf("%lld",&node[i].num);

            node[i].index=i;

        }

        stable_sort(node+1,node+n+1,cmp);

//        check

//        for(i=1;i<=n;i++)

//        {

//            printf("%d ",node[i].num);

//        }

        //对排序后的数组进行离散化

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

            a[node[i].index]=i;

        }

//        for(i=1;i<=n;i++)

//        {

//            printf("%d ",a[i]);

//        }

        //入树+统计

        long long ans=0;

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

            update(a[i]);

//            cout<<getsum(a[i])<<endl;

            ans+=(i-getsum(a[i]));

        }

        printf("%lld\n",ans);

    }

    return 0;

}