Nim博弈

目前有任意堆石子，每堆石子个数也是任意的，双方轮流从中取出石子，规则如下：
  ①每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子；
  ②如果谁取到最后一枚石子就胜。
设（a,b,c,d…）为每堆石子的个数（石子个数>=0），甲乙两人游戏，且甲先行。

若起始态a⊕b⊕c⊕… = 0，则该状态为必败态，反之为必胜态。
Nim博弈结论证明：
明显当a1=a2=……=an = 0的时候成立，（0）为必败态。当（a1，a2……an）不全等于0的时候，有2种情况：
  ① k = a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an ≠ 0，此时k的二进制最高位为1，则一定存在am它的最高位也为1，因为异或运算保证了当运算结果为1的时候，某一方一定是1，于是ap = am ⊕ k < am【异1同0，两个最高位的1异或得到0】，此时把am替换为ap，（a1⊕a2⊕…⊕ am ⊕…⊕an） => （a1⊕a2⊕…⊕ ap ⊕…⊕an） = （a1⊕a2⊕…⊕ am ⊕ k ⊕…⊕an）=（a1⊕a2⊕…⊕ am ⊕…⊕an⊕ k） = k ⊕ k = 0，这个过程证明了 当 a1⊕a2⊕……⊕an ≠ 0的时候，存在有效的取法ap = am ⊕ k使得取后的 结果a1⊕a2⊕……⊕an = 0。
  ② k = a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an = 0，根据游戏规则，必须从am中至少取走1个成为ap < am，可以用反证法得到a1⊕a2⊕…⊕ap⊕…⊕an ≠ 0，假设a1⊕a2⊕…⊕ap⊕…⊕an = 0，那么（a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an） = （a1⊕a2⊕…⊕ap⊕…⊕an） = 0，两边依次同时异或aj（j从1递增到n，j ≠m,p），就可以得到ap = am，与前提ap < am矛盾，假设不成立，这个过程证明了 当a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an = 0的时候，不存在有效的取法让取后的结果a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an = 0。

综上所述，当a1⊕a2⊕……⊕an ≠ 0的时候，存在有效的取法，令到a1⊕a2⊕……⊕an = 0，而a1⊕a2⊕……⊕an = 0不存在有效的取法使得a1⊕a2⊕……⊕an = 0【也就必胜态有办法让下一步为必败态，必败态下一步一定为必胜态】，随着局面的变化，a1⊕a2⊕……⊕an = 0最终会变成（0,0,0……0）也就是（0）必败态，所以如果当前局面（a1，a2……an）中，a1⊕a2⊕……⊕an = 0，那么当前局面是必败态。