ADSP重点习题第四章-第五章（原版书第五章-第六章）

第四章

知识点：

平稳随机信号的自相关估计

对于一个平稳过程$x(n)$，最广泛使用的$r_x(l)$的估计量是采样自相关序列，如下式：
$${\hat{r}}_x(l)=\{\begin{array}{lr}\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-l-1}x(n+l)x^{\ast }(n)& 0\le l\le N-1\\ \widehat{r_x^{\ast }}(-l)& -(N-1)\le l\le 0\\ 0& 其他\end{array}$$或等价于：
$${\hat{r}}_x(l)=\{\begin{array}{lr}\frac{1}{N}{\sum }_{n=l}^{N-1}x(n)x^{\ast }(n-l)& 0\le l\le N-1\\ \widehat{r_x^{\ast }}(-l)& -(N-1)\le l\le 0\\ 0& 其他\end{array}$$需要注意的是，除了观察数据${x(n)}_0^{N-1}$外没有更进一步的信息，因此当$|l|\ge N$时，$r_x(l)$的合理估计是不可能得到的。
${\hat{r}}_x(l)$的均值:
$E\{{\hat{r}}_x(l)\}=\frac{1}{N}{r}_x(l)r_w(l)$其中：$r_w(l)=w(l)\ast w(-l)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }w(n)w(n+l)$，是一个窗口序列的自相关。对于矩形窗：
$$r_w(l)=w_B(n)=\{\begin{array}{lr}N-|l|& |l|\le N-1\\ 0& 其他\end{array}$$
因此有：
$$E\{{\hat{r}}_x(l)\}=\frac{1}{N}{r}_x(l)w_B(n)=r_x(l)(1-\frac{|l|}{N})w_H(n)$$从式中可以看出${\hat{r}}_x(l)$不等于实际的$r_x(l)$，因此上面的自相关估计为有偏估计，但是当$N\to \infty$时，$E\{{\hat{r}}_x(l)\}\to r_x(l)$，所以${\hat{r}}_x(l)$是一个渐近无偏估计量
${\hat{r}}_x(l)$的方差:
一个对${\hat{r}}_x(l)$的协方差的近似式为：
$$cov{\hat{r}}_x(l_1),{\hat{r}}_x(l_2)\simeq \frac{1}{N}\sum _{l=-\infty }^{\infty }[r_x(l)r_x(l+l_2-l_1)+r_x(l+l_2)r_x(l-l_1)]$$易得：当$N\to \infty$时，${\hat{r}}_x(l)$方差趋于0，当$|l|$相对于$N$足够小，${\hat{r}}_x(l)$是$r_x(l)$的一个很好的估计，但是当$|l|$接近于$N$时，估计值变差，方差增加。
${\hat{r}}_x(l)$的非负定性
对于自相关序列的另一种估计量可由下式给出：
$${\hat{r}}_x(l)=\{\begin{array}{lr}\frac{1}{N-1}{\sum }_{n=0}^{N-l-1}x(n+l)x^{\ast }(n)& 0\le l\le L<N\\ \widehat{r_x^{\ast }}(-l)& -N<-L\le l<0\\ 0& 其他\end{array}$$尽管这个估计是无偏的，但是由于它是负定的，因此不用于谱估计。

平稳信号的功率谱估计

周期图法

数据段$\{x(n){\}}_0^{N-1}$的周期图定义为：
$${\hat{R}}_x(e^{jw})=\frac{1}{N}|\sum _{n=0}^{N-1}v(n)e^{-jwn}{|}^2=\frac{1}{N}|V(e^{jw}){|}^2$$其中：$v(n)=x(n)w(n),0\le n\le N-1$，$V(e^{jw})$为窗口序列$v(n)$的DTFT。
${\hat{R}}_x(e^{jw})$的逆傅里叶变换给出了估计的自相关序列$\widehat{r_v(l)}$，即：
$$\widehat{r_v}(l)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{pi}{\hat{R}}_x(e^{jw})e^{jwl}dw$$
周期图法估计的${\hat{R}}_x(e^{jw})$的平均值：
$$E\{{\hat{R}}_x(e^{jw})\}=\sum _{l=-(N-1)}^{N-1}E\{{\hat{r}}_x(l)\}{e}^{-jwl}=\frac{1}{N}\sum _{l=-(N-1)}^{N-1}{r}_x(l)r_w(l)e^{-jwl}$$
其中，$r_w(l)=w(l)\ast w(-l)$，所以有：
$$E\{{\hat{R}}_x(e^{jw})\}=\sum _{l=-(N-1)}^{N-1}(1-\frac{|l|}{N})r_x(l)e^{-jwl}$$当$N\to \infty$时，${\hat{R}}_x(e^{jw})$趋近于真实的功率谱$R_x(e^{jw})$，周期图为渐近无偏估计。
周期图法估计的${\hat{R}}_x(e^{jw})$的方差：
对于大的N值，方差近似等于：
$$var\{{\hat{R}}_x(e^{jw})\}\simeq \{\begin{array}{lr}{R}_x^2(e^{jw})& 0<w<\pi \\ 2R_x^2(e^{jw})& w=0,\pi \end{array}$$可以看出，周期图的方差保持在$R_x^2(e^{jw})$的数量级上，不随N变化而变化，当$N\to \infty$时，方差并不趋于0，所以周期图不是一个一致估计量，也就是说，随着N的增加，它的分布并不是越来越靠近实际谱。

Blackman-Tukey法

Blackman-Tukey法是一个根据已有的估计好的功率谱${\hat{R}}_x(e^{jw})$进行平滑的过程：
$${\hat{R}}_x^{(PS)}(e^{jw})=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\hat{R}}_x(e^{j(w-\theta )})W_a(e^{j\theta })d\theta ={\hat{R}}_x(e^{jw})\otimes W_a(e^{jw})$$式中，$W_a(e^{jw})$是$w$函数，周期为$2\pi$，由下式给出：
$$W_a(e^{jw})=\{\begin{array}{lr}\frac{1}{△w}& |w|<\frac{△w}{2}\\ 0& \frac{△w}{2}\le w\le \pi \end{array}$$利用卷积定理，Blackman-Tukey可以表示为：
$${\hat{R}}_x^{(PS)}(e^{jw})=\sum _{l=-(L-1)}^{L-1}{\hat{r}}_x(l)w_a(l)e^{-jwl}$$其中，$w_a(l)=\frac{sin(l△w/2)}{\pi l},-\infty <l<\infty$。
${\hat{R}}_x^{(PS)}(e^{jw})$的均值
$$\begin{gathered} E\{{\hat{R}}_x^{(PS)}(e^{jw})\}= \\ \begin{array}{l}{\sum }_{l=-(L-1)}^{L-1}E\{{\hat{r}}_x(l)\}{w}_a(l)e^{-jwl}\\ ={\sum }_{l=-(L-1)}^{L-1}{r}_x(l)(1-\frac{|l|}{N})w_a(l)e^{-jwl}\end{array} \end{gathered}$$结论是，当相关窗的谱是单位面积的，即$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{W}_a(e^{jw})dw=w_a(0)=1$时，${\hat{R}}_x^{(PS)}(e^{jw})$是一个渐近无偏估计，在这种条件下如果L和N趋向于无穷，那么就能够再现出$R_x(e^{jw})$。
${\hat{R}}_x^{(PS)}(e^{jw})$的方差
结论：
$$\frac{var\{{\hat{R}}_x^{(PS)}(e^{jw})\}}{var\{{\hat{R}}_x(e^{jw})\}}\simeq \frac{E_m}{N},0<w<\pi$$，这称作方差减少因子或方差系数，提供了通过平滑周期图使得到的方差减少的信息。

Welch-Bartlett法

思路：一般而言，K个IID随机变量和的方差是其中单个随机变量的方差的1/K倍。所以为了减少周期图的方差，我们可以对一个平稳随机信号的K个不同实现的周期图求平均，但是在大多数实际情况中，我们只能得到一个实现。在这种情况下，可以把存在的记录$\{x(n),0\le n\le N-1\}$再细分（可能会重叠）为K个小块：
$$x_i(n)=x(iD+n)w(n)，0\le n\le L-1，0\le i\le K-1$$式中，$w(n)$是一个持续时间为L的窗，D是偏移长度。如果D$i$段的周期图是：
$${\hat{R}}_{x,i}(e^{jw})=\frac{1}{L}|X_i(e^{jw}){|}^2=\frac{1}{L}|\sum _{n=0}^{L-1}{x}_i(n)e^{-jwn}{|}^2$$通过对K个周期图求平均得到谱估计${\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})$：
$${\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})=\frac{1}{K}\sum _{i=1}^{K-1}{\hat{R}}_{x,i}(e^{jw})=\frac{1}{KL}\sum _{i=0}^{K-1}|X_i(e^{jw}){|}^2$$
${\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})$的均值
结论为：
$${\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})=\frac{1}{K}\sum _{i=0}^{K-1}E\{{\hat{R}}_{x,i}(e^{jw})\}=E{\hat{R}}_x(e^{jw})$$当数据窗是归一化的，即：${\sum }_{n=0}^{L-1}{w}^2(n)=L$时，${\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})$为渐近无偏估计。
${\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})$的方差
${\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})$的方差是：
$$var\{{\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})\}=\frac{1}{K}var\{{\hat{R}}_x(e^{jw})\}$$随着K的增加，方差趋近于零，因此${\hat{R}}_x^{(PA)}(e^{jw})$给出了$R_x(e^{jw})$的一个渐近无偏估计和一致性估计。

第五章

习题5.4

A process $y(n)$ with the autocorrelation $r_y(l)=a|l|,-1<a<1$, is corrupted by additive,
uncorrelated white noise $v(n)$ with variance ${\sigma }_v^2$. To reduce the noise in the observed process$x(n)=y(n)+v(n)$, we use a first-order Wiener filter.
(a) Express the coefficients $c_{o,1}$ and $c_{o,2}$ and the MMSE $P_o$ in terms of parameters $a$ and ${\sigma }_v^2$.

习题5.24

Let $x(n)=s(n)+v(n)$ with $R_v(z)=1,R_{sv}(z)=0$, and
$$R_s(z)=\frac{0.75}{(1-0.5z-1)(1-0.5z)}$$
Determine the optimum filters for the estimation of $s(n)$ and $s(n-2)$ from $\{x(k){\}}_{-\infty }^n$and the
corresponding MMSEs.

习题5.25

For the random signal with PSD
$$Rx(z)=\frac{(1-0.2z-1)(1-0.2z)}{(1-0.9z-1)(1-0.9z)}$$
determine the optimum two-step ahead linear predictor and the corresponding MMSE.

习题5.27

Let $x(n)=s(n)+v(n)$ with $v(n) ∼ WN(0, 1) $ and $s(n)=0.6s(n-1)+w(n)$, where
$w(n)\sim WN(0,0.82)$. The processes $s(n)$ and $v(n)$ are uncorrelated. Determine the optimum
filters for the estimation of $s(n),s(n+2)$, and $s(n-2)$ from $\{x(k){\}}_{-\infty }^n$ and the corresponding MMSEs.

知识点

最佳信号估计

估计信号$\hat{y}(n)$和期望响应$y(n)$之间的差别见下式，被称为误差信号：
$$e(n)=y(n)-\hat{y}(n)$$均方误差准则(MSE)：$P(n)=E\{|e(n){|}^2\}$，它会使最佳估计器呈非线性。

线性均方误差估计

目标：设计一个估计器，使用数据$x_k(n),1\le k\le M$的线性组合，对期望相应$y(n)$做估计，使MSE $E\{|y(n)-\hat{y}(n){|}^2\}$最小，线性估计器可以定义为：
$$\hat{y}(n)=\sum _{k=1}^M{c}_k^{\ast }(n)x_k(n)$$，写成向量形式为：
$$\hat{y}=\sum _{k=1}^M{c}_k^{\ast }{x}_k={\mathbf{c}}^{\mathbf{H}}\mathbf{x}$$其中：$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots x_M{]}^T$，$\mathbf{c}=[c_1,c_2,\cdots c_M{]}^T$其中，M称为估计器的阶数，MSE为：
$$\begin{gathered} P=E\{|e{|}^2\} \\ e=y-\hat{y} \end{gathered}$$选取合适的$c_k$使上式最小化，可以得到最佳的参数矢量${\mathbf{c}}_0$。
最佳参数的求解
由
$$P(\mathbf{c})=E\{|e{|}^2\}=E\{(y-{\mathbf{c}}^{\mathbf{H}}\mathbf{x})(y^{\ast }-{\mathbf{x}}^{\mathbf{H}}\mathbf{c})\}$$
可推导得：
$$P(\mathbf{c})=P_y-{\mathbf{d}}^{\mathbf{H}}{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{d}+(\mathbf{R}\mathbf{c}-\mathbf{d}{)}^{\mathbf{H}}{\mathbf{R}}^{-1}(\mathbf{R}\mathbf{c}-\mathbf{d})$$上式中，只有第三项取决于$\mathbf{c}$，因此，当$\mathbf{R}\mathbf{c}-\mathbf{d}=0$时就可得到最佳估计。所以得到最佳估计器的参数${\mathbf{c}}_0$的充分必要条件是：
$\mathbf{R}{\mathbf{c}}_0=d$，R是正定矩阵。更详细的，可以写成：
$$\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1M}\\ r_{21}& r_{22}& \cdots & r_{2M}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{M1}& r_{M2}& \cdots & r_{MM}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_M\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ ⋮\\ d_M\end{array}\right]$$其中：$r_{ij}=E\{x_i{x}_j^{\ast }\}=r_{ji}^{\ast }$，$d_i=E\{x_i{y}^{\ast }\}$，此时的MMSE为：
$$P_0=P_y-{\mathbf{d}}^{\mathbf{H}}{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{d}=P_y-{\mathbf{d}}^{\mathbf{H}}{\mathbf{c}}_0$$通过上式很容易看出：最佳估计器和MMSE仅依赖于期望响应和输入数据的二阶矩。${\mathbf{d}}^{\mathbf{H}}{\mathbf{c}}_0$和$E\{|{\hat{y}}_0{|}^2\}$是相等的（最佳估计的功率），当$\mathbf{x},y$无关时($\mathbf{d}=0$)，是最坏的情况($P_0=P_y$)，因为没有线性估计能够减少MSE。
如果$\tilde{\mathbf{c}}$是最佳估计器参数的偏差，即$\mathbf{c}={\mathbf{c}}_0+\tilde{\mathbf{c}}$，我们可以得到：
$$P({\mathbf{c}}_0+\tilde{\mathbf{c}})=P({\mathbf{c}}_0)+{\tilde{\mathbf{c}}}^{\mathbf{H}}\mathbf{R}\tilde{\mathbf{c}}$$
即估计器参数的偏差会增大MSE的值，增大的数量被称为超量均方误差：
$$ExcessMSE=P({\mathbf{c}}_0+\tilde{\mathbf{c}})-P({\mathbf{c}}_0)={\tilde{\mathbf{c}}}^{\mathbf{H}}\mathbf{R}\tilde{\mathbf{c}}$$超量均方误差仅取决于输入的相关矩阵，与期望相应无关，因此，任何与最佳参数值的偏差都能通过监测MSE而发现。
正交原理：
$$E\{\mathbf{x}{e}_0^{\ast }\}=E\{\mathbf{x}({\mathbf{y}}^{\ast }-{\mathbf{x}}^{\mathbf{H}}{\mathbf{c}}_0)\}=\mathbf{d}-\mathbf{R}{\mathbf{c}}_0=0$$即估计器在最佳参数下工作时，误差$e_0$既与数据$x_1,x_2,\cdots ,x_M$无关，也与最佳估计值${\hat{y}}_0$无关（正交）。

最佳有限脉冲响应滤波器

对于一个线性FIR滤波器，他的脉冲响应由$h(n,k)$表示，滤波器的输出为：
$$\begin{array}{lr}\hat{y}(n)& ={\sum }_{k=0}^{N-1}h(n,k)x(n-k)\\ & ={\sum }_{k=0}^{N-1}{c}_k^{\ast }(n)x(n-k+1)\\ & ={\mathbf{c}}^{\mathbf{H}}(\mathbf{n})\mathbf{x}(\mathbf{n})\end{array}$$其中，$\mathbf{x}(\mathbf{n})=[x(n),x(n-1),\cdots ,x(n-M+1){]}^T$，$\mathbf{c}(\mathbf{n})=[c_1(n),c_2(n),\cdots ,c_M(n){]}^T$，我们可以得到以下方程组进而求解MMSE下的参数：
$$\begin{gathered} \mathbf{R}(n){\mathbf{c}}_0(n)=\mathbf{d}(n) \\ \mathbf{R}(n)=E\{\mathbf{x}(n){\mathbf{x}}^{\mathbf{H}}(n)\} \\ \mathbf{d}(n)=E\{\mathbf{x}(n)y^{\ast }(n)\} \end{gathered}$$最佳参数下的MMSE：$P_0(n)=P_y(n)-{\mathbf{d}}^{\mathbf{H}}(n){\mathbf{c}}_0(n)$其中，$P_y(n)=E\{|y(n){|}^2\}$。
平稳过程的最佳FIR滤波器
如果输入的信号和所需的响应信号的随机过程是联合广义平稳的，输入信号的相关矩阵和互相关矢量并不依赖于时间序号$n$，因此，最佳滤波器和MMSE是非时变的（即不依赖于时间信号n），由下面两式决定：
$$\begin{gathered} \mathbf{R}{\mathbf{c}}_0=\mathbf{d} \\ {P}_0=P_y-{\mathbf{d}}^{\mathbf{H}}{\mathbf{c}}_0 \end{gathered}$$，由于平稳性的原因，自相关矩阵为：
$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cccc}{r}_x(0)& r_x(1)& \cdots & r_x(M-1)\\ r_x^{\ast }(1)& r_x(0)& \cdots & r_x(M-2)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_x^{\ast }(M-1)& r_x^{\ast }(M-2)& \cdots & r_x(0)\end{array}\right]$$由于滤波器是非时变的，它可以用卷积来实现：
$${\hat{y}}_0=\sum _{k=0}^{M-1}{h}_0(k)x(n-k)$$，MMSE为：
KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 3: P_̲_0=P_y-\sum_{k=…
频域解释
结论：
$$\begin{gathered} P_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }[1-\frac{|R_{yx}(e^{jw}){|}^2}{R_y(e^{jw})R_x(e^{jw})}]R_y(e^{jw}) \\ {P}_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }[1-G_{yx}(e^{jw})]R_y(e^{jw})dw \end{gathered}$$
仅当$x(n),y(n)$之间存在显著的相关性（即:$G_{yx}(e^{jw}\simeq 1)$时），最佳滤波器才可以在一定的频段上减少MMSE。

线性预测

线性信号估计
目的：通过随机过程的一些样本值$x(n),x(n-1),\cdots ,x(n-M)$，希望用其估计$x(n-i)$的值，所得到的估计值和相应的估计误差如下：
$$\begin{gathered} \hat{x}(n-i)=-\sum _{k=0}^M{c}_k^{\ast }(n)x(n-k) \\ {e}^{(i)}(n)=x(n-i)-\hat{x}(n-i)=\sum _{k=0}^M{c}_k^{\ast }(n)x(n-k) \end{gathered}$$，其中$c_i(n)=1$
其MMSE参数计算方程为：
$$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_{11}(n)& {\mathbf{R}}_{12}(n)\\ {\mathbf{R}}_{12}^T(n)& {\mathbf{R}}_{22}(n)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{c}}_1(n)\\ {\mathbf{c}}_2(n)\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}{\mathbf{r}}_1(n)\\ {\mathbf{r}}_2(n)\end{array}\right]$$和$P_0^{(i)}(n)=P_x(n-i)+{\mathbf{r}}_1^H(n){\mathbf{c}}_1(n)+{\mathbf{r}}_2^H(n){\mathbf{c}}_2(n)$，这里：
$$\begin{gathered} {\mathbf{R}}_{ij}(n)=E\{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}(\mathbf{n}){\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{H}}(\mathbf{n})\} \\ {\mathbf{r}}_j(n)=E\{{\mathbf{x}}_j(n)x^{\ast }(n-i)\} \\ {P}_x(n)=E\{|x(n){|}^2\} \end{gathered}$$我们可以将上面两式合并为一个等式：
$$\bar{\mathbf{R}}(n){\bar{\mathbf{c}}}_0^{(i)}(n)=\left[\begin{array}{c}0\\ P_0^{(i)}(n)\\ 0\end{array}\right]$$其中，只有第i行不为0，
$$\bar{\mathbf{R}}(n)=E\{\bar{\mathbf{x}}(n){\bar{\mathbf{x}}}^H(n)\}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}_{11}(n)& {\mathbf{r}}_1(n)& {\mathbf{R}}_{12}(n)\\ {\mathbf{r}}_1^H(n)& P_x(n-i)& {\mathbf{r}}_2^H(n)\\ {\mathbf{R}}_{12}^H(n)& {\mathbf{r}}_2(n)& {\mathbf{R}}_{22}(n)\end{array}\right]$$其中：
$$\bar{\mathbf{x}}(n)=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_1(n)\\ x(n-i)\\ {\mathbf{x}}_2(n)\end{array}\right]$$
前向线性预测
用$x(n-1),\cdots ,x(n-M)$的值来预测$x(n)$的值。误差计为：
$$\begin{array}{lr}{e}^f(n)& =x(n)+{\sum }_{k=1}^M{a}_k^{\ast }(n)x(n-k)\\ & =x(n)+{\mathbf{a}}^{\mathbf{H}}(n)\mathbf{x}(n-1)\end{array}$$其中：$\mathbf{a}(n)=[a_1(n),a_2(n),\cdots ,a_M(n){]}^T$。
MMSE参数的求解方程：
$$\bar{\mathbf{R}}(n)\left[\begin{array}{c}1\\ {\mathbf{a}}_0(n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_0^f(n)\\ 0\end{array}\right]$$其中：
$$\bar{\mathbf{R}}(n)=\left[\begin{array}{cc}{P}_x(n)& {\mathbf{r}}^{fH}(n)\\ {\mathbf{r}}^f(n)& \mathbf{R}(n-1)\end{array}\right]$$
$$\mathbf{R}(n)=E\{\mathbf{x}(n){\mathbf{x}}^H(n)\}$$
$${\mathbf{r}}^f(n)=E\{\mathbf{x}(n-1)x^{\ast }(n)\}$$
后向线性预测
目的：通过将来的样本值$x(n),x(n-1),\cdots ,x(n-M+1)$来估计$x(n-M)$的值，误差计为：
$$\begin{array}{lr}{e}^b(n)& ={\sum }_{k=0}^{M-1}{b}_k^{\ast }(n)x(n-k)+x(n-M)\\ & ={\mathbf{b}}^{\mathbf{H}}(n)\mathbf{x}(n)+x(n-M)\end{array}$$其中：$\mathbf{b}(n)=[b_0(n),b_1(n),\cdots ,b_{M-1}(n){]}^T$。
MMSE参数的求解方程：
$$\bar{\mathbf{R}}(n)\left[\begin{array}{c}{\mathbf{b}}_0(n)\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ P_0^b(n)\end{array}\right]$$其中：
$$\bar{\mathbf{R}}(n)=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R}(n)& {\mathbf{r}}^b(n)\\ {\mathbf{r}}^{bH}(n)& P_x(n-M)\end{array}\right]$$
$$\mathbf{R}(n)=E\{\mathbf{x}(n){\mathbf{x}}^H(n)\}$$
$${\mathbf{r}}^b(n)=E\{\mathbf{x}(n)x^{\ast }(n-M)\}$$