Dijkstra求最短路算法 ( 超级超级详细的 ) 不断更新中
Dijkstra求最短路
最短路问题
先讲讲朴素版本的
Dijkstra算法
迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。
我们先看看从1号点到n号点的最短距离怎么求。
实现过程
实现这个过程，我们首先要定义几个数组：
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定，若确定则st[i]=true;
S集合表示：当前已经确定最短距离的点。
代码
int Dijkstra()
{
memset(dist,0x3f,sizeof dist);//除1号结点外，其他均初始为无穷大
dist[1]=0;
for(int i=0;i<n;i++) //n次迭代，每次寻找不在s中距离最近的点t
{
int t=-1;// 便于更新第一个点
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t])) t=j;
st[t]=true; //将t加到s中
for(int j=1;j<=n;j++) //用t更新其他点的距离
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1; //路径不存在
else return dist[n];
}
是不是对这个代码和过程感到特别懵逼，来，我们上个图模拟一遍
如图1，图中有三个结点1，2，3，1到2结点距离为2，2到3结点距离为1，1到3结点距离为4。刚开始时，对每个点的dist[]进行初始化，dist[1]=0，dist[2]=0x3f，dist[3]=0x3f。 此时S集合为空，然后我们将距离起点最近的点加入S集合，显然1号结点距离起点的距离为0，是距离起点最近的，将其加入S集合。（重点强调起点指的是1号结点，S集合是当前已经确定最短距离点的集合）
然后我们用1号结点去更新其他点到起点的最近距离，1结点到2结点距离g[1][2]=2，小于0x3f，则dist[2]=2，1结点到3结点距离g[1][3]=4，小于0x3f，则dist[3]=4。
用1号结点将所有点的距离更新完毕后，此时S集合中有1号结点，接下来我们让距离我们刚加入的1号结点最近的点加入集合，显然为2号结点，2号结点进入S集合，此时S集合中有1,2号结点。然后用2号结点去更新3号结点到起点的距离。dist[3]=4大于 dist[2]+1=3,dist[3]被更新为3，最后将3号结点加入S集合。至此，所有点到起始结点的最短距离都已被找出。dist[n]即为n号节点到1号节点的最短距离。
接下来给出模板
朴素版dijkstra算法
时间复杂是 O(n^2+m), n 表示点数，m 表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
好了接下来我们来看一道模板题，实践是检验真理的唯一标准
AcWing 849. Dijkstra求最短路 I
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。
输入格式
第一行包含整数n和m。
接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
输出格式
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出-1。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。
输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3
题意很简单，在一个有向图中，求出1号结点到n号结点的最短距离，我们所举的第一个图示样例，就是这道题的数据。虽然是道模板题，但在具体实现过程中，会有很多小细节值得我们去留意和思考。
完整代码
#include如果有些地方不明白的话，不要着急，接着往下看
常见问题合集
- 0x3f为什么赋值的时候可以
memset(dist,0x3f,sizeof dist)但是到后面验证的时候必须是if(dist[n]==0x3f3f3f3f)而不能是if(dist[n]==0x3f)
回答:：memset是按字节来初始化的，int包含4个字节，所以初始化之后的值就是0x3f3f3f3f。 - 为什么要用
memset(dist,0x3f,sizeof dist)来初始化
回答:：0x3f3f3f3f的十进制是1061109567，是1e9级别的（和0x7fffffff一个数量级，0x7fffffff代表了32-bit int的最大值），而一般场合下的数据都是小于1e9的，所以它可以作为无穷大使用而不致出现数据大于无穷大的情形。 另一方面，由于一般的数据都不会大于10^9，所以当我们把无穷大加上一个数据时，它并不会溢出（这就满足了“无穷大加一个有穷的数依然是无穷大”），事实上0x3f3f3f3f+0x3f3f3f3f=2122219134，这非常大但却没有超过32-bit int的表示范围，所以0x3f3f3f3f还满足了我们“无穷大加无穷大还是无穷大”的需求。 for(int i=0;it要赋值为-1
回答: 由于每一次都要找到还没有确定最短路距离的所有点中，距离当前的点最短的点。t = - 1是为了在st这个集合中找第一个点更新时候的方便所设定的。- 如果是问编号a到b的最短距离该怎么改呢? （好问题）
回答： 初始化时将dist[a]=0,以及返回时return dist[b]。 - 自环和重边对 Dijkstrea算法有影响吗？
回答： 自环在朴素版dijkstra算法中是没有任何影响的，所以自环的权值是多少都可以，只要不是负数就行。而重边时，我们去取重边中的最小值 即代码g[x][y]=min(g[x][y],z)。 - 为什么要用邻接矩阵去存贮，而不是邻接表？
回答： 我们采用邻接矩阵还是采用邻接表来表示图，需要判断一个图是稀疏图还是稠密图。稠密图指的是边的条数|E|接近于|V|²，稀疏图是指边的条数|E|远小于于|V|²（数量级差很多）。本题是稠密图，显然稠密图用邻接矩阵存储比较节省空间，反之用邻接表存储。
接下来讲讲堆优化版的Dijkstra算法
优化版Dijkstra
实现过程
堆优化版的dijkstra是对朴素版dijkstra进行了优化，在朴素版dijkstra中时间复杂度最高的寻找距离最短的点O(n^2)可以使用最小堆优化。
- 一号点的距离初始化为零，其他点初始化成无穷大。
- 将一号点放入堆中。
- 不断循环，直到堆空。每一次循环中执行的操作为：
弹出堆顶（与朴素版diijkstra找到S外距离最短的点相同，并标记该点的最短路径已经确定）。
用该点更新临界点的距离，若更新成功就加入到堆中。
为了实现这个过程，我们首先要定义几个数组和函数。
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
建立邻接表的函数（这里就不展开详讲了）
cost int N=1e5+10; //N为边的数量
int h[N]; // h[i]存储编号为i结点的单链表的头结点的下标(地址)
int e[N]; // e[i]存储下标为i结点的编号
int ne[N]; // ne[i]存储下标为i结点所指向的下一个结点的下标(地址)
int idx; // idx 存储当前已经用到了哪个点
int w[N]
void add(int x,int y,int z) //编号为a和b的结点之间建立一条边,即a所对应的单链表中在头结点后插入b
{
e[idx]=y,w[idx]=z,ne[idx]=h[x],h[x]=idx++;
}
定义一个优先队列来维护距离最近的点。
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>>heap
// first存储距离，second存储节点编号
接下来给出模板
时间复杂度 O(mlogn), n 表示点数，m 表示边数
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({
0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({
dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
看看这道模板题
AcWing 850. Dijkstra求最短路 II
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。
请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。
输入格式
第一行包含整数n和m。
接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
输出格式
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出-1。
数据范围
1≤n,m≤1.5×105,
图中涉及边长均不小于0，且不超过10000。
输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3
这道题的数据范围相比上道题加强了很多，可以看出是个稀疏图，如果再用朴素版的Dijkstra算法,很容易超时，因此我们用优化版Dijkstra来实现。
完整代码
/*
朴素版 Dijkstras算法适合于稠密图，时间复杂度为O(n^2)
优化版 Dijkstras算法适合于稀疏图，时间复杂度为O(m*logn)
*/
#include问题会持续更新，欢迎评论区留言。