基于蚁群算法的旅行商问题(TSP)的优化

一，理论基础

生物学家研究发现，蚂蚁在寻找食物时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其他蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表示路径的远近，浓度越高，表明对应的路径距离越短。通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放一定量的信息素，这样就形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即最短距离。同时，生物学家还发现，路径上的信息素浓度会随着时间的推移而逐渐衰减。
将蚁群算法(ant colony algorithm,ACA)应用于解决优化问题的基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推移，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁数量也越来越多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

二，蚁群算法解决TSP问题的基本步骤

图1 蚁群算法解决TSP问题的步骤
1.初始化参数
在计算之初，需要对相关的参数进行初始化，如蚁群规模(蚂蚁数量)m、信息素重要程度因子α、启发函数重要程度因子β、信息素挥发因子ρ、信息素释放总量Q、最大迭代次数$ite{r}_{max}$、迭代次数初值$iter=1$。
2.构建解空间
将各个蚂蚁随机地置于不同的出发地，对每个蚂蚁$k(k=1,2,\cdots ,m)$，按照转移概率公式计算其下一个待访问的城市，直到所有蚂蚁访问完所有的城市。
3.更新信息素
计算各个蚂蚁经过的路径长度$L_k(k=1,2,...,m)$，记录当前迭代次数中的最优解(最短路径)。同时，根据信息素更新公式和ant cycle system模型对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。
4.判断是否终止
若$iter<ite{r}_{max}$，则令$iter=iter+1$，清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤2；否则，终止计算，输出最优解。

三，MATLAB程序实现

%% I. 清空环境变量
clear all
clc

%% II. 导入数据
load citys_data.mat

%% III. 计算城市间相互距离
n = size(citys, 1);   % 城市的个数
D = zeros(n, n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i, j) = sqrt(sum((citys(i, :)-citys(j, :)).^2));
        else
            D(i, j) = 1e-4;
        end
    end
end

%% IV. 初始化参数
m = 50;                             % 蚂蚁数量
alpha = 1;                          % 信息素重要程度因子
beta = 5;                           % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                          % 信息素挥发因子
Q = 1;                              % 常系数
Eta = 1./D;                         % 启发函数
Tau = ones(n, n);                   % 信息素矩阵
Table = zeros(m, n);                % 路径记录表
iter = 1;                           % 迭代次数初值
iter_max = 200;                     % 最大迭代次数
Route_best = zeros(iter_max, n);    % 各代最佳路径
Length_best = zeros(iter_max, 1);   % 各代最佳路径长度
Length_ave = zeros(iter_max, 1);    % 各代路径的平均长度

%% V. 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max
    iter
    % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
    start = zeros(m, 1);
    for i = 1:m
        temp = randperm(n);     % 1~n的随机排列
        start(i) = temp(1);
    end
    Table(:, 1) = start;
    citys_index = 1:n;      % 城市索引
    % 逐个蚂蚁路径选择
    for i = 1:m
        % 逐个城市路径选择
        for j = 2:n
            tabu = Table(i, 1:(j-1));       % 已访问的城市集合(禁忌表)
            allow_index = ~ismember(citys_index, tabu);
            allow = citys_index(allow_index);   % 待访问的城市集合
            P = allow;
            % 计算城市间转移概率
            for k = 1:length(allow)
                P(k) = Tau(tabu(end), allow(k))^alpha * Eta(tabu(end), allow(k))^beta;
            end
            P = P / sum(P);
            % 轮盘赌法选择下一个访问城市
            Pc = cumsum(P);
            target_index = find(Pc>=rand);
            target = allow(target_index(1));
            Table(i, j) = target;
        end
    end
    % 计算各个蚂蚁的路径距离
    Length = zeros(m, 1);
    for i = 1:m
        Route = Table(i, :);
        for j = 1: (n-1)
            Length(i) = Length(i) + D(Route(j), Route(j+1));
        end
        Length(i) = Length(i) + D(Route(n), Route(1));
    end
    % 计算最短路径距离及平均距离
    if iter == 1
        [min_Length, min_index] = min(Length);
        Length_best(iter) = min_Length;
        Length_ave(iter) =mean(Length);
        Route_best(iter, :) = Table(min_index, :);
    else
        [min_Length, min_index] = min(Length);
        Length_best(iter) = min(Length_best(iter-1), min_Length);
        Length_ave(iter) = mean(Length);
        if Length_best(iter) == min_Length
            Route_best(iter, :) = Table(min_index, :);
        else
            Route_best(iter, :) = Route_best((iter-1), :);
        end
    end
    % 更新信息素
    Delta_Tau = zeros(n, n);
    % 逐个蚂蚁计算
    for i = 1:m
        % 逐个城市计算
        for j = 1:(n-1)
            Delta_Tau(Table(i, j), Table(i, j+1)) = Delta_Tau(Table(i, j), Table(i, j+1)) + Q/Length(i);
        end
        Delta_Tau(Table(i, n), Table(i, 1)) = Delta_Tau(Table(i, n), Table(i, 1)) + Q/Length(i);
    end
    Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1, 清空路径记录表
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m, n);
end

%% VI. 结果显示
[Shortest_Length, index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index, :);
disp(['最短距离', num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径', num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);

%% VII. 绘图
figure(1);
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on;
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

四，结果显示

Command window中的运行结果：

最短距离15601.9195
最短路径30  27  28  26  22  21  20  25   24   19   17   18   3   10   9  8   4  2  7  6  5  16  23  11  13  12  14  15  1  29  31   30

具体内容参考
链接：https://pan.baidu.com/s/1J1lbWviNIvout4OUU3I8zg
提取码：wolr

五，参考文献

[1] DORIGO M, GAMBARDELLA L M. Ant Colonies for the Traveling Salesman Problem[J]. BioSystes, 1997,43(2):73-81
[2] 郁磊等. MATLAB智能算法30个案例分析(第2版)[M].北京航空航天大学出版社.2015年.