数学建模一：层次分析法 附代码详解
数学建模一：层次分析法 附代码详解
层次分析法用于解决评价类问题。
层次分析法步骤：
1.分析题目得到目标、方案、准则并绘制层次结构图。其中目标、方案由题目给出，准则由搜索相关论文或者其他资料得到。
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推荐绘图软件：亿图图示、Visio、ProcessOn（在线）。
2.构造判断矩阵并对判断矩阵进行一致性检验，一致性检验不通过，需要修改判断矩阵。
3.根据判断矩阵计算权重并计算各方案的权重选择最佳方案实现目标。
例：甲计划外出旅游，备选地点有苏杭、北戴河与桂林。请你确定评价指标、形成评价体系来为甲选择最佳的方案。
1.目标：选择旅游地，方案：苏杭、北戴河与桂林，（搜索整理得到）准则：景色、花费、居住、饮食、交通。
2.（1）构建量化评价标准，由此构造判断矩阵。
（2）构造准则的判断矩阵。其中判断矩阵由专家根据评价标准填写（由自己根据评价标准填写）。
判断矩阵特点：
1）aij 表示的意义是，与指标相比，的重要程度。
2）当i=j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线 元素为1。
3）aij0且满足aij * aji=1 （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）。
同理构造各个准则下不同方案的判断矩阵。
对各判断矩阵进行一致性检验，一致性检验不通过，需要修改判断矩阵。
若矩阵中每个元素 aij > 0 且满足 aij * aji = 1 ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
若正互反矩阵满足 aij * ajk = aik，则我们称其为一致矩阵。即一致矩阵各行（各列）成比例。
代码如下：
%% 读入判断矩阵
A = [1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]; %准则判断矩阵
n = size(A,1);
[V,D] = eig(A); %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)); %也可以写成max(D(:))
CI = (Max_eig-n)/(n-1);
RI = [0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR = CI/RI(n);
if CR < 0.10
disp('判断矩阵通过一致性检验')；
else
disp('判断矩阵未通过一致性检验，需要修改判断矩阵')；
end
3.计算权重方法：算数平均法、几何平均法和特征值法。
代码如下
%% 方法一：算数平均数法求权重
SUM_A = sum(A);
SUM_A = repmat(SUM_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;
w = sum(Stand_A,2) ./ n;
%% 方法二：几何平均法求权重
Product_A = prod(A,2);
Product_n_A = prod .^(1/n) ;
w = Product_n_A ./ (sum(Product_n_A));
%% 方法三：特征值法求权重
[V,D] = eig(A);
Max_eig = sum(sum(D));
[r,c] = find(D == Max_eig,1);
w = V(:,c) ./ sum(V(:,c));
利用EXCEL计算各方案得分。
要点： F4可以锁定单元格。
各方案权重如下
选择权重最大的方案为桂林。
层次分析法局限性：评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。
优化后完整代码如下
%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
%% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
%% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。
% 在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子；)表示不显示运行结果
% 多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R
% 取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T
disp('请输入判断矩阵A') %matlab中disp()就是屏幕输出函数，类似于c语言中的printf（）函数
% 注意，disp函数比较特殊，这里可要分号，可不要分号哦
A=input('A=');
% 这里输入的就是我们的判断矩阵，其为n阶方阵（行数和列数相同）
% [1 3 1/3 1/3 1 1/3;1/3 1 1/4 1/5 1 1/5;3 4 1 1 2 3;3 5 1 1 2 1;1 1 1/2 1/2 1 1;3 5 1/3 1 1 1]
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 在开始下面正式的步骤之前，我们有必要检验下A是否因为粗心而输入有误
ERROR = 0; % 默认输入是没有错误的
%(1)检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵
[r,c]=size(A);
%size(A)函数是用来求矩阵的大小的,返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
%[r,c]=size(A) %将矩阵A的行数返回到第一个输出变量r，将矩阵的列数返回到第二个输出变量c
if r ~= c || r <= 1
% 注意哦，不等号是 ~= (~是键盘Tab上面那个键，要和Shift键同时按才会出来)，别和C语言里面的!=搞混了
% ||表示逻辑运算符‘或’（在键盘Enter上面，也要和Shift键一起按） 逻辑运算符且是 && （&读and，连接符号，是and的缩写。 ）
ERROR = 1;
end
% Matlab的判断语句，if所在的行不需要冒号，语句的最后一定要以end结尾 ；中间的语句要注意缩进。
%(2)检验是否为正互反矩阵 a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1
if ERROR == 0
[n,n] = size(A);
% 因为我们的判断矩阵A是一个非零方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
% 判断是否有元素小于0
% for i = 1:n
% for j = 1:n
% if A(i,j)<=0
% ERROR = 2;
% end
% end
% end
if sum(sum(A <= 0)) > 0
ERROR = 2;
end
end
%顺便检验n是否超过了15，因为RI向量为15维
if ERROR == 0
if n > 15
ERROR = 3;
end
end
if ERROR == 0
% 判断 a_ij * a_ji = 1 是否成立
if sum(sum(A' .* A ~= ones(n))) > 0
ERROR = 4;
end
% A' 表示求出 A 的转置矩阵，即将a_ij和a_ji互换位置
% ones(n)函数生成一个n*n的全为1的方阵, zeros(n)函数生成一个n*n的全为0的方阵
% ones(m,n)函数生成一个m*n的全为1的矩阵
% MATLAB在矩阵的运算中，“/”号和“*”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
% 如果a_ij * a_ji = 1 满足， 那么A和A'对应元素相乘应该为1
end
if ERROR == 0
% % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
% 第二步：将归一化的各列相加
% 第三步：将相加后的向量除以n即可得到权重向量
Sum_A = sum(A);
% matlab中的sum函数的用法
% a=sum(x);%按列求和
% a=sum(x,2);%按行求和
% a=sum(x(:));%对整个矩阵求和
% % 基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
% % （1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）
% % A(2,1) A(3,2)
% % （2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）
% % A(2,:) A(5,:)
% % （3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）
% % A(:,1) A(:,3)
% % （4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）
% % A([2,5],:) 只取第二行和第五行（一共2行）
% % A(2:5,:) 取第二行到第五行（一共4行）
% % （5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)
% % A(:)
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
% B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。
% 另外一种替代的方法如下：
% SUM_A = [];
% for i = 1:n %循环哦，不需要加冒号，这里表示循环n次
% SUM_A = [SUM_A;Sum_A];
% end
Stand_A = A ./ SUM_A;
% MATLAB在矩阵的运算中，“*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量，然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）
% % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
Prduct_A = prod(A,2);
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
% 这里对元素操作，因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
% 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：
% （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
% （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
[V,D] = eig(A); %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)); %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 下面例子来自博客：https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html
% 关于find函数的更加深入的用法可参考原文
% >> X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6];
% >> ind = find(X)
% ind =
% 1 3 4 8 9
% 其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：
% >> ind = find(X,2)
% >> ind =
% 1 3
%若X是一个矩阵，索引该如何返回呢？
% >> X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
% X =
% 1 -3 0
% 0 0 8
% 4 0 6
% >> ind = find(X)
% ind =
% 1
% 3
% 4
% 8
% 9
% 这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，我们可以做一下验证：
% >> X(4)
% ans =
% -3
% 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢？
% [r,c] = find(X)
% r =
% 1
% 3
% 1
% 2
% 3
% c =
% 1
% 1
% 2
% 3
% 3
% [r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素
% r =
% 1
% c =
% 1
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算，共有三种运算符：大于> ;小于< ;等于 == （一个等号表示赋值；两个等号表示判断）
% 例如：A > 2 会生成一个和A相同大小的矩阵，矩阵元素要么为0，要么为1（A中每个元素和2比较，如果大于2则为1，否则为0）
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
% % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %
% 当CR<0.10时，我们认为判断矩阵的一致性可以接受；否则应对其进行修正。
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end
elseif ERROR == 1
disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵')
elseif ERROR == 2
disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0')
elseif ERROR == 3
disp('A的维数n超过了15，请减少准则层的数量')
elseif ERROR == 4
disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1')
end
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