中科大-凸优化 笔记（lec17）-函数的共轭

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例：$\tilde{h}$的单调性

$$\begin{gathered} g(x)=x^{2}domg=\mathbb{R}凸 \\ h(z)=0domh=[1,2]凸不增、不降 \\ f=h(g(x))=\{\begin{array}{l}0x\in [-\sqrt{2},-1]\cup [1,\sqrt{2}]\\ \\ 不存在\end{array} \end{gathered}$$

例：若$g$为凸，$g\ge 0,P\ge 1$，则$g^P(x)$为凸

$$h(z)=z^{P}domg={\mathbb{R}}_{+}h(z)=\{\begin{array}{l}{z}^{P}z\in {\mathbb{R}}_{+}\\ \\ 0z\in {\mathbb{R}}_{--}\end{array}$$

一、函数的共轭（Conjugate）

$$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}{f}^{\ast }:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$$

$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in domf}{\sup }(y^{T}x-f(x))$$

1. $f(x)$若可微，则$f^{\ast }(y)$对应的$x$必是$f^{\prime }(x)=y$的一点；（$y-f^{\prime }(x)=0$）
2. 函数的共轭一定是凸函数

例

$$\begin{gathered} f(x)=ax+b,domf=\mathbb{R} \\ {f}^{\ast }(y)=\underset{x\in domf}{\sup }(yx-(ax+b))=\underset{x\in domf}{\sup }((y-a)x-b)=\{\begin{array}{l}-by=a\\ \\ +\infty y\ne a\end{array} \end{gathered}$$

例

$$\begin{gathered} f(x)=-\log xdomf={\mathbb{R}}_{++} \\ {f}^{\ast }(y)=\underset{x>0}{\sup }(yx+\log x)=\{\begin{array}{l}-1-\log (-y)y<0\\ \\ +\infty y\ge 0\end{array} \\ {f}^{\prime }(x)=y\Rightarrow y+\frac{1}{x}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{y} \end{gathered}$$

例

$$\begin{gathered} f(x)=\frac{1}{2}{X}^{T}QX,Q\in S_{++}^n,domf={\mathbb{R}}^n \\ {f}^{\ast }(y)=\sup (y^{T}x-\frac{1}{2}{X}^{T}QX) \\ =y^T{Q}^{-1}y-\frac{1}{2}{y}^T(Q^{-1}{)}^{T}Q{Q}^{-1}y \\ =\frac{1}{2}{y}^T{Q}^{-1}y \\ \frac{\partial (y^{T}x-\frac{1}{2}{x}^{T}Qx)}{\partial x}=y-Qx\Rightarrow x=Q^{-1}y \end{gathered}$$

$(a+bj{)}^{\ast }=(a-bj)(a-bj{)}^{\ast }=(a+bj)$
$f^{\ast \ast }\ne f$（例如：若$f$不是凸函数，就不成立）
若$f$非凸，$f^{\ast \ast }\ne f$
若$f$凸，$f$闭函数，$f^{\ast \ast }=f$

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