为实习准备的数据结构（5）-- 图解AVL树（平衡二叉搜索树）
文章目录
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- 前言
- 平衡二叉搜索树（AVL树）
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- AVL树的节点数据结构
- 在原始数据上创建AVL树
- 调整树的节点使平衡的操作：旋转
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- LL （右旋）：在左叶的左侧插入数据
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- 代码实现：
- RR（左旋）：在右子叶的右侧插入数据
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- 代码实现
- LR（左右旋）：在左叶节点的右侧插入数据
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- 代码实现
- RL（右左旋）：在右叶节点的左侧插入数据
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- 代码实现
- 新节点的插入
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- 计算平衡因子
- 正式插入新节点
- 现有节点删除
前言
之前种过AVL树，为什么要再写呢？依旧是因为我忘了，重刷一遍呗。
平衡二叉搜索树（AVL树）
二叉搜索树一定程度上可以提高搜索效率，但是当原序列有序，例如序列A = {1，2，3，4，5，6}，构造二叉搜索树如图。依据此序列构造的二叉搜索树为右斜树，同时二叉树退化成单链表，搜索效率降低为O(n)。
如下图：
在此二叉搜索树中查找元素6需要查找6次。二叉搜索树的查找效率取决于树的高度，因此保持树的高度最小，即可保证树的查找效率。同样的序列A，改为下图方式存储，查找元素6时只需比较3次，查找效率提升一倍。
可以看出当节点数目一定，保持树的左右两端保持平衡，树的查找效率最高。这种左右子树的高度相差不超过1的树为平衡二叉树。
AVL树的节点数据结构
和上面使用的那个普通结构略有不同。
class TreeNode{
public:
//这几个数据放做公有的，方便操作
int depth; //深度，这里计算每个结点的深度，通过深度的比较可得出是否平衡
TreeNode* parent; //该结点的父节点，方便操作
int val;
TreeNode* left;
TreeNode* right;
TreeNode(int x) : val(x), depth(0), left(NULL), right(NULL) {
}
TreeNode() : val(0), depth(0), left(NULL), right(NULL) {
}
};
在原始数据上创建AVL树
我的代码尝试：
（先对原始数据进行排序，然后再填充二叉搜索树，使用递归的方式。）
#include调整树的节点使平衡的操作：旋转
LL （右旋）：在左叶的左侧插入数据
图解过程：
代码实现：
//在左叶的左侧插入数据
TreeNode* LL(TreeNode* root) {
TreeNode* x = root->left; //即将返回的节点是y的左子节点（就是那个B）
TreeNode* temp = x->right; //先把y的右子节点取出来（就是那个E）
x->right = root; //把y放进x的右子节点（把A放到B的右节点）
root->left = temp; //把前面预存的放到y的左子节点（把E放到A的右节点）
return x; //(返回那个B)
}
int main() {
TreeNode* roott = new TreeNode(0);
vector<int> vec = {
0,1,2,3,4,5,6,7};
createTree(vec,roott,0,vec.size()-1);
roott = LL(roott);
PreOrderTraverse(roott);
}
RR（左旋）：在右子叶的右侧插入数据
图解过程：
右旋其实就是上面左旋的镜像过程，所以不难，直接仿写上面左旋的过程即可：
代码实现
TreeNode* RR(TreeNode* root) {
TreeNode* x = root->right; //即将返回的节点是y的右子节点
TreeNode* temp = x->left; //先把x的左子节点取出来
x->left = root; //把y放进x的左子节点
root->right = temp; //把前面预存的放到y的右子节点
return x;
}
int main() {
TreeNode* roott = new TreeNode(0);
vector<int> vec = {
0,1,2,3,4,5,6,7};
createTree(vec,roott,0,vec.size()-1);
roott = RR(roott);
PreOrderTraverse(roott);
}
后面的部分，就比较抽象了。
LR（左右旋）：在左叶节点的右侧插入数据
我们将这种情况抽象出来，得到下图：
我们需要对节点y进行平衡的维护。步骤如下图所示（第三个图里面x和z的位置换一下。）：
代码实现
TreeNode* LR(TreeNode* root) {
root->left = RR(root->left);
root = LL(root);
return root;
}
//简单明了啊
RL（右左旋）：在右叶节点的左侧插入数据
我们将这种情况抽象出来，得到下图：
我们需要对节点y进行平衡的维护。步骤如下图所示（第三个图里面x和z的位置换一下。）：
第二个图中y的左孩子为T1
（被水印遮住的部分为：T1，T2，T3，T4）
代码实现
TreeNode* RL(TreeNode* root) {
root->right = LL(root->right);
root = RR(root);
return root;
}
//简单明了啊
新节点的插入
在这里需要先补两个函数，虽然可能现在看不懂，但是配上调用函数的上下文就懂了。
计算平衡因子
int getBalanceFactor(TreeNode* node){
if(node==NULL){
return 0;
}
return get_depth(node->left)-getHeight(node->right);
}
int get_depth(TreeNode* node){
if(node==NULL){
return 0;
}
return node->depth;
}
对getBalanceFactor函数返回值的分析：
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如果刚插入的叶子节点的爷爷节点的返回值大于0
- 如果刚插入的叶子节点的父节点的返回值大于0：(LL)
- 如果刚插入的叶子节点的父节点的返回值小于0：(LR)
-
如果刚插入的叶子节点的爷爷节点的返回值小于0
- 如果刚插入的叶子节点的父节点的返回值大于0：(RL)
- 如果刚插入的叶子节点的父节点的返回值小于0：(RR)
正式插入新节点
TreeNode* Insert_Node(TreeNode* root, int val) {
//先将节点插入
if (NULL == root)
return new TreeNode(val);
else {
if (val < root->val)
root->left = Insert_Node(root->left, val);
else
root->right = Insert_Node(root->right, val);
}
//计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(root);
//判断是否该旋转，该如何旋转
if (balanceFactor > 1) {
//左子树有事儿
balanceFactor = getBalanceFactor(root->left);
if (balanceFactor == 1) //插左边了
return LL(root);
else if (balanceFactor == -1) //插右边了
return RR(root);
else {
cout << "罕见故障" << endl;
}
}
else if (balanceFactor < -1) {
//右子树有事儿
balanceFactor = getBalanceFactor(root->right);
if (balanceFactor == 1) //插左边了
return RL(root);
else if(balanceFactor == -1) //插右边了
return RR(root);
else {
cout << "罕见故障" << endl;
}
}
return root;
}
int main() {
TreeNode* roott = new TreeNode(0);
vector<int> vec = {
0,1,2,3,4,5,6,7};
createTree(vec,roott,0,vec.size()-1);
roott = Insert_Node(roott,8);
PreOrderTraverse(roott);
}
现有节点删除
代码里的注释把整个过程写的已经很详尽了。
//删除节点
TreeNode* DelSerchNode(TreeNode* node, int e) {
if (node == NULL)
return NULL;
TreeNode* retNode;
if (e < node->val) {
node->left = DelSerchNode(node->left, e);
retNode = node;
}
else if (e > node->val) {
node->right = DelSerchNode(node->right, e);
retNode = node;
}
else {
// 待删除节点左子树为空的情况
if (node->left == NULL) {
TreeNode* rightNode = node->right;
node->right = NULL;
retNode = rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
else if (node->right == NULL) {
TreeNode* leftNode = node->left;
node->left = NULL;
retNode = leftNode;
}
else {
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
TreeNode* temp = node;
while (NULL != temp->left) {
temp = temp->left;
}
node->val = temp->val;
node->left = NULL;
//temp = NULL; //这还删不掉了。。。。这指针还真是顽强
delete temp;
retNode = node;
}
}
if (retNode == NULL)
return NULL;
//计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
//判断是否该旋转，该如何旋转
if (balanceFactor > 1) {
//左子树有事儿
balanceFactor = getBalanceFactor(retNode->left);
if (balanceFactor == 1) //插左边了
return LL(retNode);
else if (balanceFactor == -1) //插右边了
return RR(retNode);
else {
cout << "罕见故障" << endl;
}
}
else if (balanceFactor < -1) {
//右子树有事儿
balanceFactor = getBalanceFactor(retNode->right);
if (balanceFactor == 1) //插左边了
return RL(retNode);
else if (balanceFactor == -1) //插右边了
return RR(retNode);
else {
cout << "罕见故障" << endl;
}
}
return retNode;
}
int main() {
TreeNode* roott = new TreeNode(0);
vector<int> vec = {
0,1,2,3,4,5,6,7};
createTree(vec,roott,0,vec.size()-1);
roott = DelSerchNode(roott,5);
PreOrderTraverse(roott);
先到这里吧。