机器学习之决策树

决策树算法以树状结构表示数据的分类结果，每个叶子节点对应决策结果。
划分选择：我们希望决策树的分支结点包含样本尽可能属于同一类别，即结点的纯度高

ID3决策树 信息增益
“信息熵”(information entropy)是度量样本集合纯度最常用的一种指标，假定当前样本集合D中第k类样本所占的比例为$p^k$(k=1,2,…|y|)（二分类时|y|=2），则D的信息熵定义为
                                             $Ent(D)=-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_{k}lo{g}_2{p}_k$
Ent(D)的值越小，则D的纯度越高。
假定离散属性a有V个可能的值{ $a^1,a^2,\dots .,a^V$},若使用a来对样本集D进行划分，则会产生V个分支结点，其中第v个分支结点包含了D中所有在属性a上取值为$a^V$的样本，记为$D^v$.考虑到不同分支结点所包含的样本数不同，给分支的赋予权重$|D^v|/|D|$。计算a对样本集D划分所获得的“信息增益”(information gain):
                                             $Gain(D,a)=Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)$
一般而言，信息增益越大，使用属性a来进行划分所获得的“纯度提升”越大

C4.5决策树 增益率
实际上，信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好，为减少这种偏好可能带来的不利影响使用增益率(gain ratio)来划分最优属性
                                             $Gain\_ratio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)}$
                                             其中$IV(a)=-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}lo{g}_2\frac{|D^v|}{|D|}$
注意，信息率准则对可取值数目较少的属性有所偏好，因此，C4.5并不是直接选择增益率最大的候选划分属性，而是先从候选划分属性中找到信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率高的。
CART决策树 Classification and Regression Tree 基尼系数
数据集D的纯度可用基尼值度量：
                                             $Gini(D)=\sum _{k=1}^{|y|}\sum _{k^{\prime }\ne k}{p}_k{p}_{k^{\prime }}=1-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_k^2$
Gini(D)反映了从数据集中随机抽取两个样本，其类别标记不一样的概率，因此，Gini(D)越小，数据集D纯度越高。
属性a的基尼系数定义为：
                                             $Gini\_index(D,a)=\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)$
选择使得划分后基尼系数最小的属性作为最优划分属性

剪枝：是决策树对付“过拟合”的主要手段，主要有预剪枝(prepruning)和后剪枝(postpruning)两种策略