最小生成树

Prim （稠密图）

S:当前已经在联通块中的所有点的集合
1. dist[i] = INF
2. for n 次
    t<-S外离S最近的点
    利用t更新S外点到S的距离
    st[t] = true
n次迭代之后所有点都已加入到S中
Dijkstra算法是更新到起始点的距离，Prim是更新到集合S的距离
所以Dijkstra算法迭代n-1次， Prim迭代n次；

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
//和
int n, m;
int g[N][N], dist[N];

bool st[N];

int prim() {
     
 
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    int res = 0;

    for(int i = 0; i < n; i++) {
     
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++) 
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        //寻找离集合S最近的点        
        if(i && dist[t] == INF) return INF;
        //判断是否连通，有无最小生成树

        if(i) res += dist[t];
     
        st[t] = true;
        //更新最新S的权值和

        for(int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}

int main() {
     
    cin >> n >> m;
    int u, v, w;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(i ==j) g[i][j] = 0;
            else g[i][j] = INF;

    while(m--) {
     
        cin >> u >> v >> w;
        g[u][v] = g[v][u] = min(g[u][v], w);
    }
    int t = prim();
    //临时存储防止执行两次函数导致最后仅返回0
    if(t == INF) puts("impossible");
    else cout << t << endl;
}

Kruskal(疏密图）

下面展示一些 内联代码片。

思路：
1.将所有边按照权重从小到大排序 O(mlog(m))O(mlog(m))
2.枚举每条边(a, b， 权重c) O(m)O(m)
      if a, b 两点不连通
         将a, b边加入集合中
3.下一步和并查集一个操作
4.使用并查集，查询两个结点是否属于一个集合， 合并两个结点

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int p[N];

struct Edge {
     
    int a, b, w;

    bool operator<(const Edge &e) const {
     
        return w < e.w;
    }
} es[M];

int find(int x) {
     
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal() {
     
//res记录最小生成树的树边权重之和,cnt记录的是全部加入到树的集合中边的数量
    int cnt = 0, res = 0;

    sort(es, es + m);

    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
     
        int a = es[i].a, b = es[i].b, w = es[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b) {
     
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt++;
        }
    }

    if (cnt != n - 1) return INF;
    else return res;
}

int main() {
     
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
     
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        es[i] = {
     a, b, w};
    }

    int t = kruskal();
    if (t == INF) cout << "impossible";
    else cout << t;
}