高等数学

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第一章

第一节 函数的概念

1. 函数的定义

• 自变量-因变量-定义域-值域-对应法则
• 定义域相同，对应法则相同，即为同一函数
• 显函数与隐函数的区别。显函数：
  确定；隐函数：二元方程
  确定
• 复合函数与反函数(函数的复合是有条件的，有的函数就不能复合)
• 反函数记住
• 值得注意的是，函数
  与其反函数
  的图形关于直线
  对称
• 单调函数必有反函数，且反函数与原函数具有相同的单调性
• 指数函数与对数函数互为反函数，三角函数与非三角函数互为反函数

2. 几种常用的函数表示方法
3. 复合函数与反函数

第二节 函数的几种特性

1. 有界函数
2. 单调函数

• 偶函数的图形关于
  轴对称，奇函数的图形关于原点对称

3. 奇偶函数
4. 周期函数

• 周期函数不一定存在最小正周期
• 例如：常量函数；迪利克雷函数

第三节 初等函数

1. 基本初等函数

• 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
• 双曲正弦:
• 双曲余弦:
• 双曲正切:

2. 初等函数

第四节 一些常用的不等式和等式

1. 三角函数的基本不等式

2. 均值不等式

• 调和平均值小于几何平均值小于算术平均值

3. 三角函数与反三角函数有关等式

• 极坐标系与直角坐标系的换算关系

第二章 极限与连续

第一节 数列与极限

1. 数列极限的定义

• 若随着n的无限增大时，数列{
  }的
  无线逼近某个常数a，则称{
  }有极限(为a)或收敛(于a)，记作：
  或
• 数列极限的
  定义
  

2. 收敛数列的性质

• 收敛数列的极限唯一
• 收敛数列一定有界
• 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限

第三节 极限运算法则

1. 极限的四则运算法则
2. 符合函数的极限运算法则
3. 极限的性质

• 极限的唯一性
• 局部有界性
• 局部保号性

第四节 无穷小与无穷大

1. 无穷小

• 无穷小-即无限趋近于0
• 有限个无穷小的和还是无穷小
• 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小

2. 无穷大

• 无穷大时极限不存在

3. 无穷小与无穷大的关系

• 在自变量的同一变化过程中，若
  为无穷大，则
  为无穷小。若
  为无穷小，且
  则
  为无穷小。
• 根据上述推论，即所有关于无穷大的问题均可以通过转化为无穷小问题来解决

4. 无穷小的比较

• 高阶无穷小
• 低阶无穷小
• 同阶无穷小(特殊情况：等价无穷小，记作
  ~
  )

5. 特别滴，记住一个极限的推导

• 当
  时，
  ~

第五节 极限存在准则及两个重要极限

1. 两边夹准则
2. 单调有界收敛准则
3. 两个重要的极限

• 第一个极限
• 第二个极限
  
  
  
  这部分题目变种太多，没法统一归类，主要需要构造形式上的统一

第六节 连续函数及其性质

1. 函数连续性的定义
2. 函数的间断点

• 第一类间断点
  及
  均存在(1.可去间断点2.跳跃间断点)
• 第二类间断点
  及
  至少有一个不存在(1.无穷间断点2.震荡间断点，举例
  )

3. 初等函数的连续性
   连续可以推出极限存在，反之不成立

• 单调的连续函数必有单调的连续反函数
• 连续函数的复合函数也连续
  重要结论：一切初等函数在其定义区间内连续

4. 闭区间上连续函数的性质

第三章

第一节 导数的概念

• 函数
  在点
  可导的充分必要条件是左导等于右导，这一点常用来讨论分段函数在分段点的可导性
• 重要推论：可导可以推出连续，反之不成立

2. 内容小结

• 导数的实质：增量比的极限
• 导数的几何意义：切线的斜率
• 求导数最基本的方法：由定义求导数

第二节 导数的求导法则

1. 四则运算求导法则
2. 反函数的求导法则
3. 复合函数的求导法则
4. 初等函数的求导法则
   以下为常数和基本初等函数的导数

第三节 高阶导数

1. 高阶导数的概念

• 欲求函数的高阶导数，只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去，而不需要新的方法
  插一个重点
  

2. 高阶导数的运算法则
3. 高阶函数的求法

• 逐阶求导法
• 利用归纳法
• 间接法-利用已知的高阶导数公式(即：将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式)
• 直接利用莱布尼茨公式
• 先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式

第四节 隐函数和参变量函数的求导

1. 隐函数的导数
2. 参变量函数的导数

• 隐函数求导法则-直接对方程两边求导
• 对数求导法：适用于幂指函数及某些用连乘，连除表示的函数
• 参数方程求导法-可以用来解决极坐标方程求导

求高阶导数时，从低到高每次都用参数方程求导公式

第五节 函数的微分

1. 微分的概念
   可微与可导基本上是一个概念，可微即可导，可导即可微

• 微分经常会用在近似计算方面

2. 微分运算法则
3. 微分在近似计算中的应用

第四章

第一节 微分中值定理

1. 罗尔(Rolle)中值定理
   若函数
   满足三个条件

• 在闭区间
  上连续
• 在开区间
  内可导
• 
  则在开区间
  内至少存在一点
  ，使得
  
  亦即导函数方程根的存在定理

2. 拉格朗日(Lagrange)中值定理
   若函数
   满足两个条件

• 在闭区间
  上连续
• 在开区间
  内可导
  则在开区间
  内至少存在一点
  ，使得
  
  结论也可以写成
• 拉格朗日中值定理推论一：如果函数
  在区间
  上的导数恒为零，那么
  在区间
  上是一个常数可用此推论证明

3. 柯西(Cauchy)中值定理
   若函数
   即
   满足三个条件

• 在闭区间
  上连续
• 在开区间
  内可导，且
  
  则在开区间
  内至少存在一点
  ，使得
  
  亦即导函数方程根的存在定理
  微分中值定理的应用
• 证明恒等式
• 证明不等式
• 证明有关中值问题的结论
  关键：利用逆向思维构造辅助函数

第二节 洛必达法则

3. 其他未定式

第三节 泰勒公式

1. 泰勒公式
   

• 这是一个由
  决定的多项式，这个多项式n阶导数和
  的n阶导数相同
  可以证明，泰勒多项式可以无穷逼近函数

2. 几个初等函数的麦克劳林公式
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
3. 泰勒公式的应用
   近似计算

• 已知x和误差限，要求确定项数n
• 已知项数n和x，计算近似值并估计误差
• 已知项式n和误差限，确定公式中x的适用范围
  求极限
  
  适用泰勒展开来求解更方便
  利用泰勒公式来证明不等式

第四节 函数单调性与极值

驻点：函数一阶导数等于0的点，注意，极值点必定是驻点，驻点不一定是极值点

1. 求解
   极值的一般步骤是

• 确定函数的定义域
• 求导数
• 找出所给函数的驻点和导数不存在的点
• 顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格，考察上述点两侧导数的符号，确定极值点
• 求出极值点处的函数值，得到极值
  同时还有
  
  同时还有

2. 函数的最值

• 若函数
  在闭区间
  上连续，则其最值只能在极值点或端点处取得

3. 极值点与最值点的区别

• 最值点是整体概念，而极值点则是局部概念

第五节 函数的凹凸性与曲线的拐点

1. 函数的凹凸性

• 函数曲线上任意两点间的曲线段总位于连接这两点的直线段的下方，该函数曲线就是凹的，该函数称为凹函数，反之则为凸函数
  函数二阶导大于0，函数图形是凹的
  函数二阶导小于0，函数图形是凸的

2. 曲线的拐点
   拐点，函数凸凹之间的分隔点
   拐点可能在两类点中取到

• 二阶导数为0的点
• 二阶导数不存在的点
  二阶导为0，三阶导不为0的点一定为拐点

3. 判断曲线的凹凸性和拐点的步骤

• 写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数
• 求出二阶导函数的零点、和不存在的点
• 检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性列表格

第六节 函数的图形

1. 函数图形的描绘步骤

• 确定函数
  的定义域，并考察其对称性及周期性
• 求出
  并求出
  为0和不存在的点
• 列表判别增减及凹凸区间，求出极值点和拐点
• 求渐近线
• 确定某些特殊点，描绘函数图形

2. 渐近线

• 水平渐近线
• 垂直渐近线
• 斜渐近线

第五章 一元函数微分学

第一节 定积分的概念及性质

1. 定积分问题举例

• 曲边梯形面积
• 变速直线运动路程

2. 定积分的定义

• 极限表示定积分

3. 定积分的性质

• 线性性质
• 区间可加
• 保号性
• 保序性
• 估值不等式
• 积分中值定理

第二节 微积分基本定理

1. 积分变限的函数及其导数
   一定要分清函数的自变量
   与积分变量
2. 引例
   重要结论

• 若
  ，函数
  可导，则
• (1):
• (2):
• (3):
• (4):

3. 牛顿-莱布尼茨公式
   如果
   是连续函数
   在区间
   上的一个原函数，则

第三节 不定积分的概念与性质

1. 原函数与不定积分的概念
   定理一、连续函数一定有原函数
   不定积分的几何意义：

• 的原函数的图形称为
  的积分曲线
• 的图形--
  的所有积分曲线组成了平行积分曲线簇

2. 基本积分表
3. 不定积分的性质

• 微分运算和求不定积分的运算是互逆的
  微分运算中有两个重要法则：复合函数微分和乘积的微分
  对应于积分运算中的换元积分法和分部积分法

第四节 换元积分法

1. 第一类换元法

• 设
  具有原函数，
  可导，则有换元公式(第一类换元公式)
  
  
  又叫凑微分法
  注意，要养成用求导运算来检验不定积分计算结果是否正确的习惯

2. 第二类换元法
   常用方法

• 三角代换
• 倒代换
  利用上述思想，我们也可以推得一个重要的公式
  
  
  三角函数的定积分公式，要牢记
  
  
  

第五节 分步积分法

特点：被积函数是两个不同函数的乘积
解决思路：利用两个函数乘积的求导法则
由导数公式

积分可得：

可推出：

或

,这个公式要更常用一点
还可利用分步积分得到一些递推公式

第六节 有理函数的积分

1. 有理函数的积分
2. 可化为有理函数的积分举例
   这部分技巧性非常多，建议多看积分题目

第七节 反常(广义)积分

• 
  可以由常义积分推广至反常积分(两类反常积分)

1. 无穷区间的反常积分
   判断反常积分收敛和发散
   定理一：(1)当常数
   时，反常积分
   收敛于
   ;(2)当常数
   时，反常积分
   发散
   绝对收敛与条件收敛的区别(被积函数绝对值是否收敛)
2. 无界函数的反常积分(瑕积分)
   对比记忆两个公式

• 反常积分
  ,当
  是收敛，当
  时发散
• 反常积分
  ,当
  是收敛，当
  时发散
  特别滴，要记住，广义积分
  是发散的

第六章 定积分的应用

第一节 定积分在工程上的应用

1. 功
2. 水压力
3. 引力
   一般三个步骤

• 定区间
• 求微元
• 算积分

第二节 定积分在几何学上的应用

1. 平面图形的面积

• 平面直角坐标系
• 极坐标系
  曲线
  及
  围成的曲边扇形的面积为
  

2. 体积
3. 平面曲线的弧长

• 弧长公式
  

4. 旋转曲面的面积

• 旋转体的侧面积公式
  
  这个公式可以明显得由平行四边形面积公式推出，上底和下底均为
  ,高为

5. 曲线的曲率

• 平面曲线的曲率是用来刻画曲线的弯曲程度
  曲率定义：曲线弧两点之间的切线改变角度
  与曲线弧在这两点的长度
  的比值
  为曲线弧在这两点的平均曲率，当这两点无线趋近的话，取其极限值即为
  ,该公式可由
  与公式
  联合推出
  曲率半径-
  ,曲率中心，曲率圆的概念一定要了解以下哦

第七章 常微分方程

第一节 微分方程的基本概念

1. 问题的提出

• 凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程
• 未知函数是一元函数的方程为常微分方程
• 未知函数是多元函数的方程为偏微分方程
• 方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶
• 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解
  解的类型
• 通解含有独立任意常数的解，且任意常数的个数与方程的阶数相同
• 特解不含任意常数的解
  初始条件
  初值问题(柯西问题)
  解的图像微分方程的积分曲线
  通解的图像积分曲线簇

2. 基本概念

第二节 一阶微分方程常见类型及解法

1. 可分离变量的微分方程

• 也就是说x可以放在方程一边，y可以放在方程另一边的微分方程

2. 齐次微分方程

• 如果一阶微分方程可以写成
  的形式，则称之为齐次型方程，做变量代换
  进行代换，得到
  ,即
  ，进而转换为可分离变量的微分方程进行求解

3. 一阶线性微分方程

• 一阶线性微分方程的标准形式
  即
  ,当
  衡等于0时方程称为齐次的，否则称为非齐次方程
• 一阶线性微分方程可以使用凑微分的方法来求解，如对于上式的
  来说，我们在方程左右分别乘以
  ，使得上式变为
  ,使得左边可以凑成
  的形式，即
  ，这样便可以将一阶线性微分方程解出来了
• 当
  时，微分方程形式变为
  ,可明显求得其通解为
• 当
  不为0时，按照我们上述的方法，可得一阶线性非齐次微分方程的通解为

4. 利用变量代换求解微分方程
5. 伯努利方程

• 形如
  的方程，称为伯努利方程
• 当
  时，方程为线性微分方程
• 当
  时，方程为非线性微分方程
  伯努利方程解法：只需要做变换，令
  ，方程就可化为
  的一阶线性方程
  一阶微分方程虽然类型不多，但是变化多样，需要多看题目进行回顾

第三节 二阶线性微分方程理论及解法

1. 二阶线性微分方程解的性质与结构
   形如
   即为二阶线性微分方程，特别地，当
   时，为二阶线性齐次微分方程；当
   时，为二阶线性非齐次微分方程
   n阶线性微分方程形式如下
   
   非齐次线性方程的两个特解之差是对应线性方程的特解
2. 二阶常系数线性齐次微分方程
   解法：特征方程法

• 将解
  代入二阶常系数齐次线性方程
  ,可得
  ,则特征方程为
• 特征方程有两个不相等的实根的情况(
  )：两个根为
  ,即有两个线性无关的特解
  ,可得其次方程的通解为
• 特征方程有两个相等的实根，则齐次方程的通解为
• 特征方程有一对共轭复根即(
  ):
  ,运用欧拉公式
  将两根重新组合，得到齐次方程的通解为
• 由上述可推广至n阶线性齐次方程

3. 二阶常系数线性非齐次方程
   二阶常系数非齐次线性方程解法
   基本形式
   (p,q均为常数)，根据解的结构定理，其通解为
   ,其中
   为对应的齐次方程的通解，
   为非齐次方程的特解
   求特解的方法-待定系数法

• 若
  型，即
  
  结论：最终的特解为
  ,当
  不是根时，
  ,当
  是单根时，
  ，当
  是重根时，
  .
• 若
  型

第四节 其他若干类型的高阶微分方程及解法

1. 可降阶的高阶微分方程

• 型的方程，令
  ，则
  ，即可将方程化为
• 型的方程，另
  ，则
  ，可将方程化为

2. 欧拉方程
3. 常系数线性微分方程组

第八章 向量代数与空间解析几何概要

第一节 向量及其线性运算概要

1. 空间直角坐标系

• 空间直角坐标系的构成
• 空间两点间的距离

2. 向量

• 向量的几何表示
• 向量的坐标表示

3. 向量的线性运算

• 向量的加法
• 数
  与向量
  的乘法
• 向量的方向余弦

第二节 向量的乘积

1. 向量的数量积

• 设向量
  的夹角为
  ，称
  为
  与
  的数量级(点积)，记为
  ,即
  =
  
  注意一、数量积
  为一个数
  注意二、物理学中的功为

2. 向量的向量积
3. 向量的混合积

第三节 空间平面

1. 平面的方程

• 点法式方程
• 平面一般方程
  ,平面的法向量为
• 平面的截距式方程

2. 两平面的夹角

• 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角

3. 点到平面的距离

第四节 空间直线

1. 直线的方程

• 直线的一般式方程(两个空间平面的交线)
  
• 直线的对称式方程(也称为点向式方程)
  
• 直线的参数式方程
  
  
  
  
  
  
  直线的点向式方程可以和参数式方程很好地进行切换

2. 直线与直线、直线与平面的夹角

• 直线与平面的夹角
  
  ，其中
  为直线的方向向量，
  为平面的法向量

3. 平面束方程
   
   
   

第五节 空间曲面

1. 曲面的概念
2. 常见空间曲面

• 柱面
  圆柱面
  
  抛物柱面
  
  椭圆柱面
• 旋转曲面
  注意旋转曲面方程的求法
• 二次曲面
  椭圆面
  抛物面：椭圆抛物面、双曲抛物面
  双曲面：单叶双曲面、双叶双曲面
  椭圆锥面

第六节 空间曲线

1. 空间曲线的方程

• 空间曲线的一般方程，可视为两个曲面的交线
  
  
  
• 空间曲线的参数方程
  
  
  
  
  
  
  一般式方程和参数式方程的互换一定要学会哦

2. 空间曲线在坐标面上的投影
   举个例子理解，如果要求空间曲线在
   面上的投影方程，即需要在一般式方程上消去z，然后结合
   ,这样投影方程便可以求出

第九章 多元函数微分学

第一节 多元函数的概念

1. 平面点集

• 邻域、内点、聚点、边界点
• 有界点集和无界点集
• 开集与闭集、连通域与区域

2. 二元函数
3. 维空间与
   元函数

第二节 二元函数的极限与连续

1. 二元函数的极限

• 常见求
  的方法
  通过简单的变量代换，将二元函数极限转化为一元函数极限
  利用有界函数乘以无穷小仍为无穷小
  利用夹逼定理
  等价无穷小代换
  二元函数的连续性

2. 二元函数的连续性及性质

第三节 偏导数

1. 偏导数的概念

• 如果函数
  在区域
  内的任一点均可偏导，就称函数
  在区域
  内可偏导，其偏导数称为偏导函数，记为
  ,
  ,
  ,
  
  牢记：可偏导不一定连续，偏导只是在x方向上和y方向上，连续可以从任意方向上逼近，同时也要记住，连续也不一定可偏导；这两个之间均没有直接关系

2. 偏导数的计算

• 偏导的计算：如对
  求偏导，就可以把
  视作常数对
  求导即可
  同时，偏导数的概念可以推广到二元以上的函数上去

3. 偏导数的几何意义(了解)
4. 高阶偏导数

• 二阶偏导数，一共有四个
• 同时要记住
  这一结论并不总是成立的，成立的条件是
  和
  都在点
  处连续

第四节 全微分

1. 全微分的概念

2. 函数可微的充分必要条件

• 可微的必要条件连续且可偏导，即连续未必可微，可偏导未必可微
• 可微的充分条件偏导连续即可微，反过来不一定成立，即可微偏导不一定连续

3. 全微分在近似计算中的应用

• 全微分等于所有偏微分之和

第五节 多元复合函数的求导法则

1. 链式法则
   利用变量关系图求偏导数或全导数链式法则

• 画出变量关系图
• 在变量关系图中，如果复合后的函数或因变量(如
  )到某个自变量(如
  )的路径数目为
  ，则表明复合函数
  对该自变量
  的(偏)导数为
  项之和
• 在一条路径中，如果有
  条线段相连，则表明该路径对应的项为
  个(偏)导数的乘积，且每个(偏)导数为线段左边变量对右边变量的(偏)导数
• 由上述过程，正确写出求偏导数或全导数的链式法则，并由此求出偏导数或全导数
  口诀：路径用加，线段用乘，单出口求导，多出口偏导

2. 全微分形式的不变性

第六节 隐函数的微分法

1. 由一个方程所确定的隐函数的求(偏)导公式
2. 由方程组所确定的隐函数组的求(偏)导公式
3. 全微分法
   方程(组)在什么条件下才能确定隐函数
   在方程(组)能确定隐函数时，研究其连续性、可微性及求(偏)导方法问题

第七节 方向导数和梯度

1. 方向导数(沿任意方向的方向导数)

• 二元函数
  在点
  沿方向
  (方向角为
  )的方向导数为
  

2. 梯度(方向导数取最大的方向)

• 三元z函数
  在点
  处的梯度为

第八节 二元函数的泰勒公式

不过多了解可由一元函数的泰勒公式进行推广得到

第九节 多元函数微分学在极值中的应用

1. 二元函数的极值
   极值存在的充分条件：设函数
   在点
   的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且
   ,令
   则

• 当
  时，不取极值
• 当
  时，不能确定是否取极值

2. 条件极值
   第一种方法：化为无条件极值法
   拉格朗日乘数法
   拉格朗日乘数法步骤

• 第一步：引入
• 第二步：建立方程组
  
  
  
  
  
  
  并求出所有拉格朗日稳定点
• 第三步：由实际问题判断条件极值的存在性，并求出条件极值

3. 最大值与最小值
   有界闭区域上连续函数最值的解题步骤

• 第一步：求出区域内部所有可能的最值点(驻点和不可偏导点)
• 第二步：求出区域边界上所有可能的最值点(利用条件极值的方法)
• 第三步：计算上述点处的函数值，并比较得出结论

第十节 多元函数微分学在几何学中的应用

1. 空间曲线的切线与法平面
   空间光滑曲线在点
   处的切线为此点处割线的极限位置，过点
   与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面

• 曲线方程为参数方程时切线和法平面是很好确定的
• 当曲线方程为一般式方程时，需要联立方程求得
  ,则曲线切向量为

2. 空间曲面的切平面与法线

• 法向量：
• 切平面方程：
• 法线方程

第十章 重积分

第一节 二重积分的概念和性质

1. 二重积分的实际背景

• 曲顶柱体的体积基本思路：大化小，常代变，近似和，求极限
• 平面薄片的质量

2. 二重积分的概念
   二重积分存在定理：若函数
   在有界闭域
   上连续，则
   在
   上可积
3. 二重积分的性质

• 二重积分的奇偶对称性
• 二重积分的轮换对称性

第二节 二重积分的计算

1. 利用直角坐标系计算二重积分要领：转化为两次定积分计算
   必要时交换积分顺序很重要，可能会大大简化计算
2. 二重积分的换元法

• 需要用到雅可比行列式
  
  
  其中
  可理解为变换前后面积元素
  与
  之比

3. 利用极坐标计算二重积分

• 公式如下
  ,这一公式同样也可用雅可比行列式导出，也可用面积公式直观地看出来
• 反常二重积分
  

第三节 三重积分的概念与性质

1. 三重积分概念的实际背景
   

• 三重积分存在定理若函数
  在有限闭区域
  上连续，则
  在
  上可积

2. 三重积分的概念
3. 三重积分的性质

• 三重积分的奇偶轮换性
• 三重积分的轮换对称性

第四节 三重积分的计算

1. 利用直角坐标计算

• 投影法
• 三次积分法(该方法为最常用的基本方法)
• 截面法
  三重积分换元法：和二重积分类似，都是用到了雅可比行列式，在这里就不详细说明了，运用三重积分换元法，可以轻松导出下面柱面坐标计算和球面坐标计算的公式

2. 利用柱面坐标计算

• 柱面坐标与直角坐标之间的关系
• 
  
  
  适用范围
• 积分区域为圆柱体、圆锥体、旋转抛物体、旋转椭球体，或其中的一部分
• 投影区域为圆盘或圆盘的一部分
• 被积函数含有
• 计算方法和上述差不多，就不详细介绍了

3. 利用球面坐标计算
   直角坐标系与球面坐标系的关系

• 
  由于
  
  
  
  因此，
  
  
  
  三重积分适用范围
• 积分区域为球体或其中一部分，以及球体与圆锥体所围区域
• 被积函数含有

第五节 重积分的应用

1. 几何应用

• 曲顶柱体的体积
• 空间曲面的面积
  

2. 物理应用

• 质量
• 静力矩
  若平面薄片占有
  坐标面上区域
  ,在点
  处的面密度为
  ,该平面薄片关于
  轴、
  轴的静力矩分别为
  
• 质心
  设空间有
  个质点，分别位于
  ,其质量分别为
  ,由力学知，该质点系的质心坐标为
  
  
  
  
  
  
  当
  恒为常数时，得到的质心坐标即为形心坐标
• 转动惯量
  物体对
  轴的转动惯量为
  
  物体对
  轴的转动惯量为
  
  物体对
  轴的转动惯量为
• 引力
  物体对原点处产生的引力
  轴上的分量为
  
  物体对原点处产生的引力
  轴上的分量为
  
  物体对原点处产生的引力
  轴上的分量为

第十一章 曲线积分

第一节 对弧长的曲线积分

1. 对弧长的曲线积分的实际背景
   分割
   近似
   求和
   取极限

• 几何背景(曲边柱面的面积)
• 物理背景(曲线型构件的质量)

2. 对弧长的曲线积分的概念及性质

• 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)线性性、对曲线的可加性、度量性、对称性、轮换对称性
  基本思路：运用弧积分
  公式将曲线积分转换为定积分

3. 对弧长的2曲线积分的计算

第二节 对坐标的曲线积分

1. 对坐标的曲线积分的背景

• 变力沿曲线所做的功
  
  第二类曲线积分(对坐标曲线积分)
  
  
  第二类曲线积分yu曲线的方向有关

2. 对坐标的曲线积分的概念与性质
3. 对坐标的曲线积分的计算方法

• 参数方程法如
  
  ,直接代入化为仅含有
  的定积分进行运算

4. 两类曲线积分之间的联系

• 空间曲线
  上的两类曲线积分的联系是
  
  
  其中与
  同方向的单位切向量为

第三节 格林公式

1. 平面区域的正向边界曲线
   格林公式将平面上有界封闭曲线
   上的曲线积分通过
   所围成的平面闭区域
   上的二重积分计算
   对平面有界区域
   的边界
   ，规定
   的正向如下

• 当人沿
  的正向行走时，区域
  总在他的左边
  单连通：
  的正向为逆时针方向(内部无洞)
  复连通：
  的正向为外逆内顺，即
  逆
  顺
  区域
  的带有正向的边界曲线，称为
  的正向边界曲线(内部有洞)

2. 格林公式

• 设
  是
  面上的有界闭区域，其边界曲线
  由有限条光滑或分段光滑的正向曲线所组成，
  及
  在
  上具有一阶连续偏导数，则有

第四节 平面曲线积分与路径无关的条件

1. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件

• 在
  内存在可微函数
  使得
• 在
  内每一点都有

2. 二元函数原函数及求法
3. 全微分方程

• 若存在
  使得
  就称
  为全微分方程

第五节 曲线积分的应用

1. 曲顶柱面的面积
2. 曲线形物体的质量，质心和惯性矩

• 曲线型物体的质量
  ,其中
  为密度
• 空间曲线的质心
• 空间曲线的形心
• 平面曲线型物体转动惯量
  
  
  
  
  

3. 变力做功
   
   
   

第十二章 曲面积分

第一型(对面积的)曲面积分
第二型(对坐标的)曲面积分

第一节 对面积的曲面积分

分割

近似

求和

取极限

1. 对面积的曲面积分的实际背景
   

• 第一类曲面积分的物理意义面密度为连续函数
  的光滑曲面
  的质量

2. 对面积的曲面积分的概念与性质
3. 对面积的曲面积分的计算
   基本思想：化为二重积分进行计算
   

第二节 对坐标曲面积分

1. 曲面的侧

• 曲面的分类(双侧曲面有两侧的曲面，上侧-下侧，左侧-右侧；单侧曲面，莫比乌斯带)
  我们的研究对象：我们只考虑双侧曲面，不考虑单侧曲面
• 有向曲面(法向量的方向称为有向曲面的正向)
• 通常将封闭曲面
  分为内侧和外侧，内侧指点
  处的法向量指向曲面所围空间有界区域内部的那一侧，而另一侧指外侧

2. 对坐标的曲面积分的实际背景

• 流向曲面一侧的流量

3. 对坐标的曲面积分的概念及性质
   定义

• 设
  为光滑有向曲面，向量场
  在
  上有界，若对
  的任意分割和局部任意取点，
  存在且唯一，就称此极限为
  在有向曲面
  上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分
  
  
  上式中，
  分别为有向投影
  的元素，也可对应即为
  ,即有
  称为有向投影元素

4. 对坐标的曲面积分的计算法

• 思想：化为二重积分进行计算

5. 两类曲面积分之间的联系

• ，其中
  为有向曲面
  上任意一点
  处指定侧的单位法向量

第三节 高斯公式和斯托克斯公式

1. 高斯公式
   
   
   对于非封闭曲面的曲面积分，可添加辅助面，化为封闭曲面的曲面积分，再利用高斯公式，然后减去辅助面上的积分
2. 斯托克斯公式

• 定理
  设有向光滑曲线
  的边界
  时分段光滑有向曲线，且
  的侧与
  的方向符合右手法则，
  在包含
  在内的一个空间域内具有一阶连续偏导数，则有
  
  
  斯托克斯公式的实质：建立了有向曲面上的曲面积分与其边界上的曲线积分之间的联系

第四节 曲面积分的应用

1. 曲面的面积
   
2. 曲面状物体的质量，质心和转动惯量
3. 曲面状物体对质点的引力
4. 通量与散度

• 散度的定义：设
  向量场
  中点
  处散度
  
  牢记：散度是数量，不是矢量

5. 环流量与旋度
   场论中三个重要概念：梯度、散度、旋度

• 设
  ,则
• 梯度：
• 散度：
  
• 旋度：
  
  

第十三章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念及其性质

1. 常数项级数的概念

• 无穷级数的概念
• 级数的收敛与发散概念
  如果级数
  的部分和数列
  有极限
  ,即
  ，就称无穷级数
  收敛，此极限
  称为级数
  的和，如果
  没有极限，就称无穷级数发散

2. 常数项级数的基本性质
   级数收敛的必要条件

• 若级数
  收敛，则
• 收敛级数可以逐项相加与逐项相减，即两个收敛的级数和也收敛，若一个级数收敛，另一个发散，则该两个级数之和发散；若两个级数均发散，则这两个级数和的级数不可判断敛散性
• 级数的敛散性与其前有限性无关
• 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定

第二节 正向级数及其审敛法

1. 基本定理

• 定理一：正向级数
  收敛，则其部分和数列

2. 积分审敛法

• 若
  在
  满足：非负、连续、单减，则正向级数
  与反常积分
  同敛散
  特别滴，对于级数
  当
  时，该级数收敛，
  时，该级数发散，当
  时，为挑个级数，是发散的

3. 比较审敛法

• 大收则小收
• 小散则大散
• 即判定一个正向级数的敛散性，可与另一个已知敛散性的正向级数比较来确定
• 比较审敛法的极限形式
  设两个正向级数
  满足
  ,则有
• 当
  时，两个级数同时收敛或发散
• 当
  时，若
  收敛，则
  收敛
• 当
  时,若
  发散，则
  发散
• 当
  时，两个级数同时收敛或发散

4. 比值审敛法

• 设若
  为正向级数，且
  ,则
  当
  时，级数收敛
  当
  时，级数发散
  当
  时，级数可能收敛，也可能发散
• 比值审敛法的优点，不必找"参照级数"

5. 根植审敛法

• 设若
  为正向级数，且
  ，则
  当
  时，级数收敛
  当
  时，级数发散
  当
  时，级数可能收敛，也可能发散

第三节 级数的绝对收敛与条件收敛

1. 交错级数及其审敛法

• 正负向相间的级数称为交错级数
• 交错级数判别法(莱布尼茨判别法)(若交错级数
  满足条件
  ),则
  收敛，满足上述两个条件的级数称为莱布尼茨交错级数

2. 绝对收敛与条件收敛

• 若级数
  收敛，则级数
  必定收敛
• 若
  收敛，则称
  为绝对收敛
• 若
  发散，
  收敛，则称
  为条件收敛

第四节 幂级数

1. 函数项级数的概念
   函数项级数、收敛点-收敛域、发散点-发散域、和函数(认真了解一下这几个概念咯)

• 例如等比级数
  
  收敛域是
  
  发散域是
  
  和函数
  ,当
  时
  收敛域是
• 收敛半径
  的求法
  设
  且
  或
  
  则当
  时，收敛半径
  
  则当
  时，收敛半径
  
  则当
  时，收敛半径

2. 幂级数及其收敛性

• 求幂级数收敛域的方法
  对标准型幂级数
• 由公式收敛半径，再讨论端点的收敛性
  对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
• 求收敛半径时直接用比值法或根植法，也可通过换元化为标准型再求
  也可以由比值审敛法求得

3. 幂级数的运算及性质
   若
   的收敛半径
   ,其核函数
   ，则

• 在收敛域上连续
• 在收敛区间内可逐项求导
• 在收敛区间内可逐项积分
  注意：逐项求导、积分时，运算前后端点处的敛散性可能改变
  求幂级数和函数的方法
• 求导(去分母)
  求和
  积分
• 积分(去分子)
  求和
  求导

第五节 函数的幂级数展开式

1. 泰勒(
   )级数
2. 函数展开成幂级数
   幂级数
   求和
   和函数
   
   和函数
   展开成幂级数
   
   展开方法(两种)

• 直接展开法-使用泰勒公式
• 间接展开法-使用已有结论

幂级数的应用

1. 近似计算
2. 欧拉公式
   欧拉公式的几个简单应用-蒂莫夫公式
   
3. 微分方程的幂级数解

第六节 傅里叶级数

1. 三角级数及三角函数系的正交性

• 周期函数与三角函数
  谐波函数
  其中
  为振幅，
  为角频率，
  为初相
• 复杂的周期运动
  谐波叠加
  将上述公式展开化简，令
  得到函数项级数
  
  形如上式的级数称为三角级数
• 三角级数的正交性

2. 周期为
   函数的
   展开式

• 设
  是周期为
  的周期函数，且
  ,右向级数可逐项积分，则有
  
  
  
  
  上述即为欧拉-傅里叶公式，由
  的欧拉-傅里叶公式所得的
  称为
  的傅里叶系数，由
  的傅里叶系数
  构成的三角级数
  称为
  的傅里叶级数

3. 周期为
   函数的
   展开式