【数论】GCD

F. GCD-GCD-GCD [ Problem 4045 ]

Description

给你两个数a,m;
问你在 [0,m − 1] 范围内有几个数 x 满足gcd(a,m) = gcd(a + x,m);

Input

第一行一个整数T；
接下来T行，每行两个整数a,m;
1 ≤ a < m ≤ 1e9

Output

针对每两个数，输出满足条件的x的数量。

Samples
Input Copy

3
4 9
5 10
42 9999999967

Output

6
1
9999999966

Hint

对于第一个4 9：
满足的x是:0 1 3 4 6 7

解题思路：
由更项减损术求最大公约数可知，若$x>y,则有gcd(x,y)=gcd(x-y,y)$。
$$gcd(a+x,m)=gcd(a,m)=Gcd;$$
$$gcd(\frac{a+x}{Gcd},\frac{m}{Gcd})=1$$
$$当a+x<m时，即求[\frac{a}{Gcd},\frac{m}{Gcd})中与\frac{m}{Gcd}互质的个数；$$
$$当a+x\ge m时，有更项减损术可得，gcd(\frac{a+x}{Gcd}-\frac{m}{Gcd},\frac{m}{Gcd})=1,$$
$$即求[0,\frac{a}{Gcd}）中与\frac{m}{Gcd}互质的个数；$$

取上述两种情况的并集可将该题转化为：求 $\frac{m}{Gcd}$ 的欧拉函数即可。

上代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma G++ optimize(2)
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll get_oula(ll n)
{
     
	ll ans = n;
	for(int i=2;i<=n/i;i++)
    {
     
        if(n%i==0) ans=ans/i*(i-1);
        while(n%i==0) n/=i;
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
int main()
{
     
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
     
		ll a,m;
		scanf("%lld%lld",&a,&m);
		ll gcd = __gcd(a,m);
		ll ans=get_oula(m/gcd);
		cout << ans << endl;
	} 
	return 0;
 }