卡特兰数

卡特兰数的应用：

括号化问题。
　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
出栈次序问题。
　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
将多边行划分为三角形问题。
　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
给顶节点组成二叉树的问题。
　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？（能构成h（N）个）

C++

//卡特兰数的大数算法
//1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796(0--10)
//公式：f(n) = f(n - 1) * (4 * n - 2) / (n + 1);
#include 
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#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair P;
const int MAX_N = 100 + 10;
int ans[105][MAX_N];//ans[n][i]
int id;
int base = 10000;  //数组每一位存放大数的四位数字，相当于万进制

//大数乘
void multiply(int n, int x) {
    int add = 0;   //进位
    for (int i = 1; i <= id || add; ++i) {
        ans[n][i] = ans[n][i] * x + add;
        add = ans[n][i] / base;
        ans[n][i] %= base;
        if (i > id) id = i;
    }
    //cout << add << endl;
}

//大数除
void divide(int n, int x) {
    int re = 0;   //余数
    bool flag = true;
    for (int i = id; i >= 1; --i) {
        ans[n][i] = re * base + ans[n][i];
        re = ans[n][i] % x;
        ans[n][i] /= x;
        if (ans[n][i] != 0) flag = false;
        if (flag && ans[n][i] == 0) --id;//去掉前导零
    }
    //cout << re << endl;
}

int main() {
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //cin.tie(NULL);
    //cout.tie(NULL);
    ans[0][0] = ans[0][1] = 1;//f(0) = 1
    id = 1;//大数反向存放在数组中
    
    //预处理
    for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
        for (int j = 1; j <= id; ++j) ans[i][j] = ans[i - 1][j];
        multiply(i, 4 * i - 2);
        divide(i, i + 1);
        ans[i][0] = id; //ans[i][0]存放n为i时的答案的数组长度。
    }   

    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        int len = ans[n][0];
        printf("%d", ans[n][len]);//输出最前面的数
        for (int i = len - 1; i >= 1; --i) {
            printf("%04d", ans[n][i]); //输出后面的数，并每位都保持4位长度!
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

//f(100) = 896519947090131496687170070074100632420837521538745909320

Java

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        
        BigInteger[] ans = new BigInteger[105];
        ans[0] = BigInteger.valueOf(1);
        
        for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
            ans[i] = ans[i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(4 * i - 2)).divide(BigInteger.valueOf(i + 1));
        }
        
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        while (in.hasNext()) {
            int n = in.nextInt();
            System.out.println(ans[n]);
        }
        in.close();
    }

}

本文参考自博客：http://blog.163.com/lz_666888/blog/static/1147857262009914112922803/
（很棒的总结）

卡特兰数

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