计算机图形学笔记（中篇讲投影变换，有机器视觉标定的影子）

计算机图形学笔记（中篇讲投影变换，有机器视觉标定的影子）
第三章：二维变换
（一）向量分析
向量点乘内积：a1*b1+a2*b2=|a||b|cosy值>0夹角小于90度不分正负（由余弦确定）=0就是垂直
向量叉乘外积：行列式的值=|a||b|siny值>0示表b在a逆时针180度内（由正弦确定）=0就是重合
（二）坐标变换
分类：世界坐标系（全局），建模坐标系（局部），观察坐标系（观察者角度)，设备坐标系（输出设备角度），规范坐坐标系（用于中间转换）
图形变换：比例，旋转，镜像，错切，平移，（OPENCV中仿射变换章节也有算法阐述）
齐次坐标表示法：用一个N+1维的向量表示一个N维向量的方法，其中最后一维的常数程为哑坐标（方便矩阵运算）
（1）向量变换
[x*,y*]=[x,y]*M，由x*=a1x+b1y+c1,y*=a2x+b2y+cx知M矩阵为[[a1,b1,c1]T,[a2,b2,c2]T]，几何意义上理解为第三维为常数的平面上的一个二维向量
[x*,y*,1]=[x,y,1][[1,0,0],[0,1,0],[Tx,Ty,1]]=[x+Tx,y+Ty,1]，平移
[x*,y*,1]=[x,y,1][[1,0,0],[0,1,0],[0,0,S]]=[x,y,S]=[x/S,y/S,1]，整体变换S>1时变大，<1时变小
[x*,y*,1]=[x,y,1][[Sx,0,0],[0,Sy,0],[0,0,1]]=[Sx*x,Sy*y,1，比例变换
[x*,y*,1]=[x,y,1][[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,1]]=[x,-y,1]，关于X轴对称
[x*,y*,1]=[x,y,1][[-1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]=[-x,y,1]，关于Y轴对称
[x*,y*,1]=[x,y,1][[-1,0,0],[0,-1,0],[0,0,1]]=[-x,-y,1]，关于原点对称
x*=rcos(a+b)=rcosacosb-rsinasinb,y*=rsin(a+b)=rcosasinb+rsinacosb=xsinb+ycosb
[x*,y*,1]=[x,y,1][[cosb,sinb,0],[-sinb,cosb,0],[0,0,1]]=[xcosb-ysinb,xsinb+ycosb,1]，绕原点逆时针旋转b角顺时针则b取负
[x*,y*,1]=[x,y,1][[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]]=[y,x,1]，关于Y=X对称
二维复合变换就是变换矩阵相乘，注意是符合结合律的，但是不符合交配律
（2）坐标系变换：将P（XP,YP)从XOY坐标系变换到X'O'Y'坐标系：先平移使O与O'重合，再旋转
（3）相对任意参考点变换（不以原点为中心）：先把固定点平移到原点，由变换，最后反平移固定点返回
小结：[[a,b,p],[c,d,q],[l,m,s]]：abcd比例旋转对称错切，lm平移，pq投影，s整体比例
（三）窗口与视区变换
窗口：世界坐标系中要显示的区域，定义显示什么
视区：窗口映射到显示器设备上的区域称为视区，定义在何处显示
观察变换：窗口到视区的转换
1、变焦距效果：窗口越小，视区大小不变，就会放大图像某一部分，观察到较大窗口未显示的内容，反之类似照相机变焦
2、整体缩放效果：窗口不变，视区变化，得到整体缩放效果，看到的东西不会变，这个是由窗口决定的
世界坐标系->屏幕坐标系，下面是把窗口中的xx转换成视区中的sx
视区中某点X与视区左边距(sx-vl)/视区长度(vr-vl)=窗口中某点X与窗口左边距(xx-wl)/窗口长度(wr-wl)
注意到视区总长度(vr-vl)比窗口总长度(wr-wl)是个定值，令其为A，则sx=A*x+vl-A*wl，右边常数项是左界比例缩放时产生的残差偏移量
第四章：三维变换
（一）几何变换
T=[[a,b,c,p],[d,e,f,q],[g,h,i,r],[l,m,n,s]]，abcdefghi对点进行比例对称旋转错切,lmn平移,s整体缩放,pqr透视投影变换
类似二维，aei是单独对某轴缩放（若要对平面对称则垂直于该平面的轴为-1，如yoz面对称则a=-1；若要对轴对称则另外两轴为-1，如x轴对称则e=i=-1）
旋转时注意右手定则下，绕哪轴旋转，就从该转正方向望过去，例如Z轴从上方竖直向下看决定XOY旋转的逆正顺负
若要绕任意直线旋转矩阵的原则：变成绕坐标轴旋转的问题（与二维类似思路），先把轴变换到轴上，再旋转，再反变换
（二）换影变换：在二维面平面显示三维物体
分类：透视（中心）投影，平行（正，斜）
（1）正投影——三视图（XOZ,YOZ,XOY）
步骤：确定各点坐标，引入齐次坐标求出变换矩阵，运算得到变换后的值，绘图
主视图V面从Y轴正轴望过去：T(xoz)=[[1000],[0000],[0010],[0001]]强行把Y坐标清0
左视图W面从X轴正轴望过去：T(yoz)=[[0000],[0100],[0010],[0001]]强行把X坐标清0，为美观需再绕Z轴逆时针转90度让其与主视图在同一平面上，再沿Z轴平移-X0偏移与主视图分开
府视图H面从Z轴正轴望过去：T(xoy)=[[1000],[0100],[0000],[0001]]强行把Z坐标清0，为美观需再绕X轴顺时针转90度让其与主视图在同一平面上，再沿Z轴平移-Z0偏移与主视图分开
最终：主[x,0,z,1]，俯[x,0,-(y+z0),1]，侧[-(y+x0),0,z,1]
（2）正投影——正轴测
等轴测：投影面与三个坐标轴之间夹角都相等A=45度，B=-35.26度（如x+y+z=1）
正二测：投影面与两个坐标轴之间夹角都相等A=20.7度，B=19.47度
正三测：投影面与三个坐标轴之间夹角都不等
正轴测图求解：以V面为轴测投影面，先绕Z轴转A角，再绕X轴转-B角，最后向V面投影，变换距阵为T正=TZ+TX+TV
最终：X*=xcosa-ysina，y*=0，z*=-xsinasinb-ycosasinb+zcosb
（3）透视（中心）投影
分类：一点透视如平面z=0，二点透视如平面x+y=1，三点透视如平面x+y+z=1
举例：以一点透视为例：[xyz1]·[[1000],[0100],[0010],[p001]]=[xyz(px+1)]，归一化后[x'y'z'1]=[x/(px+1),y/(px+1),z/(px+1),1]
特点：将在x轴上的1/p处产生一个灭点，坐标值为(1/p,0,0)，所有平行于X轴的线将延伸交于该点
推理：设投影中心在z=-d处，投影面在XOY上，现要求空间一点P(X,Y,Z)的透视投影P'(X',Y',Z')坐标，则显然x'/x=y'/y=d/(d+z)，得到x'=x/(1+z/d),y'=y/(1+z/d),z'=0，透视坐标与Z值成反比，而D值对透视图有缩放功能，若投影串心在无穷远处，则1/d=0，就是平行投影
矩阵：[x',y',z',1]=[x,y,z,1][[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,1/d],[0,0,0,1]]=[x,y,z,1+z/d]=[x/(1+z/d),y/(1+z/d),z/(1+z/d),1]
改进：开始要先平移到适当位置，再中间透视转换，最后再投影到投影面即某轴坐标清0
T完整=[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[l,m,n,1]]·[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,1/d],[0,0,0,1]]·[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,1]]