算法导论第八章练习参考答案

Exersise

*8.4-5 定义随机变量$X$的概率分布函数$P(x)=Pr\{X\le x\}$。假设有$n$个随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$。服从一个连续概率分布函数$P$,且它可以在$O(1)$的时间内被计算得到。设计一个算法，使其能够在平均情况下在线性时间内完成这些数的排序。

令$P(y_i)=Pr\{X\le y_i\}=\frac{i}{n}$，$i=1,\cdots ,n$

$P(y_1)=\frac{1}{n}$

$P(y_2)=\frac{2}{n}$

$P(y_3)=\frac{3}{n}$

$\cdots$

$P(y_n)=1$

解出$y_i$作为桶排序中桶的序号，如果$X\in (-\infty ,y_1)$则把$X$放入$y_1$桶内，如果$X\in (y_1,y_2)$则把$X$放入$y_2$桶内，以此推类，平均情况下每个桶大小大致相同，桶排序可以在$\Theta (n)$内完成。最坏情况下，每个$X$都在$(y_{n-1},y_n)$之间，即最后一个桶中，寻找桶需要花费$O(n^2)$，排序需要花费$O(n^2)$，一共花费$O(n^2)$。