集合论(3)：关系

集合论(3):关系

一.关系的概念

1.关系的定义

①定义1

设A,B 是两个集合, , 一 个从A ×B到{是 ,否} 的映射 R, 称为从A 到B的一个二元关系, , 或A与B间的一个二元关系。

​ $\forall (a,b)\in A\times B$, 如果 ( a,b)在R下的象为 “ 是 ” ，则a与b符合关系R ，记为$aRb$，如果 ( a,b)在R下的象为 “ 否 ” ，则a与b不符合关系R ，记为$a/Rb$

​ 若 A=B, 则称R为A上的二元关系。

②定义2

​ 设A、B是两个集合,A×B的任一子集R称为从A到B的一个二元关系

2.关系的术语

①全关系

​ A×B也是A×B的一个子集，按定义A×B也是从A到B的一个二元关系。我们把A×B叫做A到B的全关系

②空关系

​ 空集 $\varphi$叫做A到B的空关系

③恒等关系

​ 集合 $\{(a,a)|a\in A\}$ 称为A上的恒等关系或相等关系，并记为$I_A$

④定义域和值域

​ 设$R\subseteq A\times B$ ，
​ 集合 $\{x|x\in A且\exists y\in B使得(x,y)\in R\}$称为R的定义域，并记为dom®

​ 集合 $\{y|y\in B且\exists x\in A使得(x,y)\in R\}$称为R的值域，并记为ran®

⑤A到B的关系个数

​ 一般地：$|A\times B|=m$,那么A到B上就有$2^m$个关系。

⑥二元关系到n元关系的推广

​ 设$A_1,A_2,...,A_n$是 是n 个集合，一个的$A_1\times A_2\times ...\times A_n$的子集R 称为
$A_1,A_2,...,A_n$间的n 元关系，每个$A_i$ 称为R 的一个域 。

二.关系的性质

1.自反关系

​ 设R为X上的二元关系，若R是自反的，则$\forall x\in X,xRx$

​ $R$是自反的$⟺$$I_X\subseteq R$

2.反自反关系

​ 设R为X上的二元关系，若R是反自反的，则$\forall x\in X,x/Rx$

​ 反自反的二元关系必然不是自反的，自反的二元关系必然不是反自反的

​ 不是自反的二元关系，不一定是反自反

​ 设X是一个集合，则X上的自反二元关系和反自反二元关系一样多(反自反并上$I_X$就是自反，自反去掉$I_X$就是反自反)

3.对称关系

​ 设R为X上的二元关系，若$\forall x,y\in X,只要xRy就有yRx$,则称R是对称的

4.反对称关系

​ 设R为X上的二元关系，对$\forall x,y\in X,若：xRy且yRx$,则$x=y$则称R是反对称的

5.传递关系

​ 设R为X上的二元关系，若$\forall x,y,z\in X,只要xRy且yRx,就有xRz$,则称R为传递关系

​

​ 补充:设R为 X={a,b} 上的二元关系, 如果 R为空集，则满足反自反性、对称性、反对称性、传递性，不满足自反性

​

6.相容关系

​ 集合X上的二元关系R称为是相容关系，如果R是自反的且又是对称的。

​ 补充:映射的核满足自反关系，对称关系，传递关系，相容关系，不满足反自反和反对称

​ 映射的核：令$f:A\to B,Ker(f)=\{(x,y)|x,y\in A且f(x)=f(y)\}.Ker(f)$称为f的核

7.关系的逆

​ 设R是A到B的二元关系，则R的逆记为$R^{-1}$，$R^{-1}$是B到A的二元关系，且$R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}$

8.关系的集合运算

①

​ X到Y的一个二元关系R就是X×Y 的一个子集。因此可以在关系上定义并、交、差、对称差、余集和笛卡尔积运算。

​ 若R，S都是X到Y的二元关系，则：$R\cup S=\{(x,y)|(x,y)\in R或(x,y)\in S\}$也是X到Y的二元关系，如果x与y符合$R\cup S$,记作$xR\cup Sy$,即xRy或xSy

​ 同理，$xR\cap Sy⟺xRy且xSy$

②二元关系的笛卡尔积

设R是A到B的二元关系，S为C到D的二元关系，则定义R×S 为A,B,C,D间的一个四元关系

$R\times S=\{(a,b,c,d)|(a,b)\in R且(c,d)\in S\}$

③二元关系R的余积

$R^c=(A\times B)\setminus R$

三.关系的合成运算

1.定义

设R是A到B,S是B到C 的二元关系。R与S的合成是A到C的一个二元关系, , 记成$R^{\circ }S$, 并且
$R^{\circ }S=\{(x,z)|\exists y\in B使得xRy且ySz\}$

2.结合律

设$R_1,R_2,R_3$ 分别是从A 到B,B 到C,C到D的二元关系，则 $(R_1^{\circ }{R}_2{)}^{\circ }{R}_3=R_1^{\circ }(R_2^{\circ }{R}_3)$

3.交并运算的分配律

$$\begin{gathered} (1)R_1^{\circ }(R_2\cup R_3)=(R_1^{\circ }{R}_2)\cup (R_1^{\circ }{R}_3) \\ (2)R_1^{\circ }(R_2\cap R_3)\subseteq (R_1^{\circ }{R}_2)\cap (R_1^{\circ }{R}_3) \\ (3)(R_2\cup R_3{)}^{\circ }{R}_4=(R_2^{\circ }{R}_4)\cup (R_3^{\circ }{R}_4) \\ (4)(R_2\cap R_3{)}^{\circ }{R}_4\subseteq (R_2^{\circ }{R}_4)\cap (R_3^{\circ }{R}_4) \end{gathered}$$

​ 一般合成运算对差运算不满足分配律
$$\begin{gathered} (1)R_1^{\circ }(R_2\setminus R_3)\ne (R_1^{\circ }{R}_2)\setminus (R_1^{\circ }{R}_3) \\ (2)(R_2\setminus R_3{)}^{\circ }{R}_4\ne (R_2^{\circ }{R}_4)\setminus (R_3^{\circ }{R}_4) \end{gathered}$$

4.关系的逆的合成

​ 设R,S是集合X上的两个二元关系，则
$$\begin{gathered} (1)(R^{\circ }S{)}^{-1}=S^{-1\circ }{R}^{-1} \\ (2)R^{\circ }{R}^{-1}是对称的 \end{gathered}$$

5.传递

设R是X上的二元关系，则:$R$是传递的$⟺R^{\circ }R\subseteq R$

6.关系幂运算

①定义

设R是X 上的一个二元关系，R的n次幂记作$R^n$，n为非负整数$R^0=I_X,R^1=R,R^2=R^{\circ }R$,$R^{n+1}=R^n\circ R$

②定理

对任意非负整数m,n，有
$$\begin{gathered} (1)R^m\circ R^n=R^{m+n} \\ (2)(R^m{)}^n=R^{mn} \end{gathered}$$

③定理

设X 是一个有限集合且|X|= n ，R为 为X 上的任一二元关系，则存在非负整数s, t 使得$0\le s<t\le 2^{n^2}$ 上且$R^s=R^t$。

④定理

设R是X上的二元关系，如果存在非负整数s,t,s

$令S=R^0,R,R^2,...,R^{t-1},则对任意的非负的整数q有R^q\in S$

四.关系的闭包

​ 关系的闭包的思想是想通过增加一些元素，使原来的关系符合某种性质,但增加的元素要最少

1.哪些关系存在闭包

​ 自反、对称、传递、相容关系存在闭包；而反自反关系和反对称关系没法通过加入元素使其变成反自反或反对称，所以不存在闭包

2.传递闭包

​ 增加最少的元素，使其符合传递性

①定义1

R是X上的一个二元关系，X上一切包含R的传递关系的交称为R的传递闭包，用$R^{+}或t(R)$表示，即：$R^{+}=\underset{R\subseteq R^{\prime }}{\cap }{R}^{\prime },R^{\prime }$是传递的

②定义2

R是X上的一个二元关系，X上一切包含R的传递关系为：$R_1,R_2,......R_n$，R的传递闭包用$R^{+}或t(R)$表示，即：$R^{+}=R_1\cap R_2\cap ......\cap R_n$是传递的

③$R^{+}$必须满足传递闭包的三个条件

（1）$R^{+}\supseteq R$

（2）$R^{+}$是传递的二元关系

（3）$R^{+}$是包含R的传递的二元关系中“最小的”

④定理 设R为X上的二元关系，则：

$R^{+}=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{R}^n=R\cup R^2\cup R^3\cup ..$

⑤定理 设X为n元集，R为X上的二元关系，则：

$R^{+}=\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{R}^i$

⑥定理（性质）

设R,S是X 上的二元关系,则

(1)${\varphi }^{+}=\varphi$

(2)$R\subseteq R^{+}$

(3)$(R^{+}{)}^{+}=R^{+}$

(4)$(R\cup S{)}^{+}{\supseteq }^{+}\cup S^{+}$

3.自反闭包

①定义

​ 设R为X 上的二元关系。X 上的一切包含R R 的自反的二元关系的交称为R 的自反闭包，记为 r® 。

②定理

​ 设R为X上的二元关系。则$r(R)=R^0\cup R$

r®必须满足自反闭包的三个条件

(1)$r(R)\supseteq R$
(2)$r(R)$是自反的
(3$r(R)$是包含R的自反的二元关系中“最小的“

4.自反传递闭包

①定义

​ 设R 为X 上的二元关系。X 上的一切包含R 的自反且传递的二元关系的交称为R 的自反传递闭包，记为$R^{\ast }$

②定理（自反传递关系计算）

​ 设R为X上的二元关系。则$R^{\ast }=R^0\cup R^{+}$

​ ($R^{+}=\underset{i=1}{\overset{\infty }{\cup }}{R}^i{R}^{\ast }=\underset{i=0}{\overset{\infty }{\cup }}{R}^i$)

$R^{\ast }$必须满足自反传递闭包的四个条件

(1)$R^{\ast }\supseteq R$
(2)$R^{\ast }$是自反的
(3)$R^{\ast }$是传递的
(4)$R^{\ast }$是包含R的自反且传递的二元关系中“最小的“

5.对称闭包

①定义

​ 设R为X上的二元关系。X上的一切包含R 的对称的二元关系的交称为R的对称闭包，记为 s® 。

②定理

设R为X上的二元关系。则$s(R)=R\cup R^{-1}$

s®必须满足自反闭包的三个条件

(1)$s(R)\supseteq R$
(2)$s(R)$是对称的
(3)$s(R)$是包含R的对称的二元关系中“最小的“

③定理（性质）

设R是X 上的二元关系,则

(1)$r(s(R))=s(r(R))$

(2)$r(R^{+})=r(R{)}^{+}=R^{\ast }$

(3)$s(R{)}^{+}{\supseteq }^{+}s(R^{+})$

五.关系矩阵

1.定义

​ 设：$X=\{x_1,x_2,...,x_m\}$ ，$Y=\{y_1,y_2,...,y_n\}$

令R是X到Y的一个二元关系。

​ 由R定义一个m×n的矩阵B=$(b_{ij})$如下:$\forall (x_i,y_j)\in X\times Y,$
$$b_{ij}=\{\begin{array}{c}1,若x_{i}R{y}_j\\ 0,若x_i/R{y}_j\end{array}$$
​ 矩阵B称为关系R的矩阵

2.性质

​ 设B为X上关系R的矩阵, 则：

（1）R是自反的$⟺$B的对角线上的全部元素都为1

​ 由关系矩阵可以较清晰地看出自反关系的个数是$2^{n^2-n}$(对角线固定都是1，其他每个位置都有两种选择；设X共n个元素，关系是笛卡尔积的子集，笛卡尔积共$n^2$个元素，所以X上共有$2^{n^2}$个关系)

（2）R是反自反的$⟺$B的对角线上的全部元素都为0

​ 反自反关系的个数是$2^{n^2-n}$

（3）R是对称的，$\forall b_{ij}=1,则b_{ji}=1$$⟺$B是对称矩阵

​ 反自反关系的个数是$2^{\frac{n^2-n}{2}}\cdot 2^n$

​ (对角线上n个元素任意，其他每个对称位置算作一对，每一对为00或11，共$\frac{n^2-n}{2}$对)

（4）R是反对称的，$⟺$i≠j时，$b_{ij}和b_{ji}$不同时为1

​ 反对称关系的个数是$3^{\frac{n^2-n}{2}}\cdot 2^n$

(对角线上n个元素任意，其他每个对称位置算作一对，每一对为00或10或01，共$\frac{n^2-n}{2}$对，每对3种选择)

（5）R是传递的，$⟺$如果$b_{ij}=1且b_{jk}=1$，则$b_{ik}=1$

（6）$R^{-1}$对应矩阵B的转置

六.等价关系和集合的划分

1.等价关系定义

​ 集合X上的二元关系R被称为等价关系，如果其满足以下三个性质:

(1) R 是自反的,即$\forall x\in X,xRx$ ;
(2) R 是对称的,即如果 xRy, 则 yRx;
(3) R 是传递的,即如果 xRy,yRz,则 xRz;

2.等价类定义

​ 设R是X上的一个等价关系，x$\in$ X, X 的子集$E_x=\{y|y\in X且xRy\}$ 称为x 关于R 的等价类，或简记为x的等价类

​ x的等价类常记为$[\mathrm{x}]$,即：$[\mathrm{x}]=\{\mathrm{y}|\mathrm{y}\in \mathrm{X}且\mathrm{x}\mathrm{R}\mathrm{y}\}$

3.集合划分的定义

①说法1

​ 设X为集合 ,X的一些非空子集形成的集族A称为X的一个划分, 如果A 具有性质：

(1)$\forall B,C\in A,若B\ne C,则B\cap C=\varphi$

(2)$\underset{B\in A}{\cup }B=X$

②说法2

设X 是一个集合, $A_1,A_2,\dots \dots ,A_n$是X的非空子集，如果集族$A=A_1,A_2,\dots \dots ,A_n$具有如下性质，则称A是X 的一个划分。

(1)$\forall A_i,A_j\in A,若A_i\ne A_j,则A_i\cap A_j=\varphi$

(2)$A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n=X$

4.等价类和集合划分的关系

​ 如果A是X的一个划分，则当|A|=k 时，A被称为X的一个k-划分

①定理（一个等价关系确定一个划分）

​ 设R 是X上的一个等价关系，则R的所有等价类的集合是X的一个划分

②定理（一个划分确定一个等价关系）

说法一

​ 设A是集合X 的一个划分，令$R=\underset{B\in A}{\cup }B\times B$,则R是X上的一个等价关系, , 并且A就是R的等价类之集

说法二

​ 设$A=\{A_1,A_2,\dots \dots ,A_n\}$是集合X 的一个划分

$R=(A_1\times A_1)\cup (A_2\times A_2)\cup \dots \dots \cup (A_n\times A_n)$

则R是X 上的一个等价关系, 并且A就是R的等价类之集

③X的一个划分和X的等价关系是一一对应，且互相确定

④等价关系R确定的划分是R的所有等价类之集$\{[x]|x\in X\}$

​ 等价关系数等于集合的划分数

5.商集

​ 设R是X上的等价关系, 由R所确定的X的划分，也就是R 的所有等价类之集，称为X对R的商集，并记作X/R

​ 即$X/R=\{[x]|x\in X,[x]是R的等价类\}$

6.等价闭包

​ R 的等价闭包(R的自反对称传递闭包），记为$e(R),e(R)$是X 上包含R 的那些等价关系的交集

设R为X上的一个二元关系，则：$e(R)=(R\cup R^{-1}{)}^{\ast }$

七.偏序关系与偏序集

1.偏序关系的定义

​ 集合X上的二元关系R被称为偏序关系，如果其满足以下三个性质:

(1) R 是自反的,即$\forall x\in X,xRx$ ;
(2) R 是反对称的,即如果 xRy, 且yRx，则x=y;
(3) R 是传递的,即如果 xRy,yRz,则 xRz;

2.偏序集的定义

​ 设≤是X上的一个偏序关系，则称二元组 (X,≤) 为偏序集

​ 当抽象地讨论X 上的偏序关系时，常用符号“≤”表示偏序关系，约定x≤y且x≠y时,就记为x＜y

3.全序关系与全序集

定义

​ 集合X上的偏序关系≤叫做全序关系,如果$\forall x,y\in X,x\le y与y\le x$至少有一个成立

​ 全序关系也称为线性序关系。X 与全序关系 ≤ 构成的二元组(X, ≤)称为全序集

4.前驱后继

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集。我们称y盖住x, 如果x

​ 如果y 盖住x，则记为$x\stackrel{\infty }{\subset }y$,并且y成为x的后继，x称为y的前驱

5.哈斯图（目的是简化关系图）

1. 偏序关系是自反的，因此其关系图中，每个节点上都有环。
   既然都有，就可以省略。
2. 由于反对称性，x,y 之间只能有一条有向边。如果从x 到y有边，则把y 放在x 上方。表示箭头的方向。这样就可以省略箭头
3. 偏序关系是传递的，只要有 (x,y) 和 (y,z), 就必然有 (x,z),因此只要在前驱和后继之间连线即可。

6.链和反链

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集，$A\subseteq X$

​ 如果$\forall a,b\in A,a\leqq b与b\leqq a$必有一个成立，则称A为X中的链

​ 如果$\forall a,b\in A,a\leqq b与b\leqq a$均不成立，则称A为X中的一个反链

​ |A|称为链或者反链的长度

7.上界和下界

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集，$B\subseteq X$

​ 如果存在一个元素$a\in X$, 使得对B中每个元素x,有x ≦a, 则称a为B的一个上界。
​ 如果存在一个元素$b\in X$, 使得对B中每个元素x,有b ≦x, 则称b为B的一个下界。

8.最大最小元素

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集，$B\subseteq X$

​ 如果存在一个元素$a\in B$, 使得$\forall x\in B$,有x ≦a, 则称a为B中的最大元素。
​ 如果存在一个元素$b\in B$, 使得$\forall x\in B$,有有b ≦x, 则称a为B中的最小元素。

9.上下确界

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集，$B\subseteq X$

​ 如果B有上界且B的一切上界之集有最小元素，则这个最小上界称为B的上确界，记为supB
​ 类似的，如果B 有下界且B的一切下界之集有最大元素，则称这个最大下界成为B 的下确界，记为inf B

10.极大极小元素

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集，$A\subseteq X$

​ A 中元素s称为A的极大元素如果A 中不存在与s不同的元素l，且s ≦l。 。
​ 如果A 中有元素d使得$\forall x\in A$, x 不等于d ，x不小于d ，那么d被称为A的极小元素

最大最小元素

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集，$B\subseteq X$

​ 如果存在一个元素$a\in B$, 使得$\forall x\in B$,有x ≦a, 则称a为B中的最大元素。
​ 如果存在一个元素$b\in B$, 使得$\forall x\in B$,有有b ≦x, 则称a为B中的最小元素。

9.上下确界

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集，$B\subseteq X$

​ 如果B有上界且B的一切上界之集有最小元素，则这个最小上界称为B的上确界，记为supB
​ 类似的，如果B 有下界且B的一切下界之集有最大元素，则称这个最大下界成为B 的下确界，记为inf B

10.极大极小元素

​ 设(X, ≦ ）是一个偏序集，$A\subseteq X$

​ A 中元素s称为A的极大元素如果A 中不存在与s不同的元素l，且s ≦l。 。
​ 如果A 中有元素d使得$\forall x\in A$, x 不等于d ，x不小于d ，那么d被称为A的极小元素