我们先来熟悉下树与二叉树的概念。
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树
树是n个结点的集合，当n为0时，为空树。当n不等于0时，是非空树，此时树有且仅有一个根结点。
树的结构如下
一般树结构.png
树结构中高度、深度以及层数
image.png
- 二叉树
二叉树是一种特殊的树，二叉树中每个一个结点最多只有2个子结点，结构如下：
二叉树.png
一、特殊的二叉树
1.满二叉树:除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。
如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1
满二叉树.png
2.完全二叉树:如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布。则为完全二叉树。
非完全二叉树与完全二叉树.png
二、二叉树的性质
1.在二叉树的第i层上最多有2的i-1次方个结点。
2.深度为K的二叉树最多有个2的K+1次方-1个结点。
3.对于任何一颗二叉树，如果其树终点数为n，度为2的结点数为n2,则n = n2+1；
4.具有n个结点的完全二叉树深度为log2n+1
5.对具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下，从左到右的顺序对二叉树的所有结点从1开始编码，则对于任意的序号为i的结点有：
A.如果i>1,那么序号为i的结点双亲结点序号为i/2；
B.如果i=1，那么序号为i的结点为根结点，无双亲；
C.如果2i<=n，那么序号为i的结点的左孩子结点序号为2i；
D.如果2i>n，那么序号为i的结点无左孩子；
E.如果2i+1<=n，那么序号为i的结点右孩子序号为2i+1；
F.如果2i+1>n，那么序号为i的结点无右孩子。
三、二叉树遍历
⼆叉树的遍(Traversing binary tree) 是指的从根结点出发,按照某种次序依次访问
⼆叉树中所有结点,使得每个结点被访问⼀次且仅被访问⼀次.
二叉树的遍历方式
1、前序遍历： 若⼆叉树为空,则空操作返回; 否则先访问根结点,然后前序遍历左⼦树,再前序遍历右⼦树。
前序遍历.png
2、中序遍历：若⼆叉树为空,则空操作返回; 否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点),中序遍历根结点的左⼦树,然后是访问根结点,最后中序遍历右⼦树。
中序遍历.png
3、后续遍历:若⼆叉树为空,则空操作返回; 否则从左到右先叶⼦后结点的⽅式遍历左右⼦树,最后访问根结点。
后续遍历.png
4、层序遍历:若⼆叉树为空,则空操作返回; 否则从树的第⼀层,也是就是根结点开始访问,从
上⽽下逐层遍历,在同⼀层中, 按从左到右的顺序对结点逐个访问。
层序遍历.png
三、二叉树的顺序存储方式分析
假设分析上图”非完全二叉树与完全二叉树“，以顺序存储是什么样子的呢？
先看完全二叉树，存储为ABCDEF，而非完全二叉树则是ABCDE(null)G.如果是ABCDEG这样会分不清楚是二叉树结点的右树还是左树，先记录根结点然后左到右子结点，再然后是从左到右叶子结点。当一个结点左树为空时，只有个右树，要左树存储的空间为NULL。但是顺序存储有个缺点，例下图
image.png
这样就是浪费了大量的存储空间。
顺序存储方式代码
#include
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType; /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点 */
CElemType Nil = 0; /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/
typedef struct{
int level;//结点层
int order;//本层的序号
}Position;
#pragma mark - 二叉树的基本操作
Status visit(CElemType c){
printf("%d ",c);
return OK;
}
Status InitBiTress(SqBiTree T){
for (int i = 0; i=0; i--) {
if (T[i]!=Nil) {
//记录最后结点的位置
break;
}
}
do {
j++;
} while (pow(2, j) 结点层.表示第几层;
Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
*/
printf("%d\n",(int)pow(2, e.level-1));
printf("%d\n",e.order);
return T[(int)pow(2, e.level)+e.order-1-1];
}
//获取二叉树的根结点
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
if (BiTreeEmpty(T)) {
return ERROR;
}
*e = T[0];
return OK;
}
//给处于位置e的结点赋值
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
//获取结点所处的位置
int place = (int)pow(2, e.level)+e.order-1-1;
//叶子结点的双亲为空
if (value !=Nil && T[(place+1)/2-1]==Nil) {
return ERROR;
}
//给双亲赋空值但是有叶子结点
if (value == Nil && (T[place*2+1] != Nil || T[place*2+2] != Nil)) {
return ERROR;
}
T[place] = value;
return OK;
}
//获取双亲
CElemType Parent(SqBiTree T,CElemType e){
if (T[0]==Nil) {
//空树
return Nil;
}
for (int i = 0; i 四、二叉树的链式存储方式
#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
/* 存储空间初始分配量 */
#define MAXSIZE 100
/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Status;
#pragma mark--二叉树构造
int indexs = 1;
typedef char String[24]; /* 0号单元存放串的长度 */
String str;
Status StrAssign(String T,char *chars)
{
int I;
if(strlen(chars)>MAXSIZE)
return ERROR;
else
{
T[0]=strlen(chars);
for(i=1;i<=T[0];I++)
T[i]=*(chars+i-1);
return OK;
}
}
#pragma mark--二叉树基本操作
typedef char CElemType;
CElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
{
CElemType data; /* 结点数据 */
struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;
/*7.1 打印数据*/
Status visit(CElemType e)
{
printf("%c ",e);
return OK;
}
/* 7.2 构造空二叉树T */
Status InitBiTree(BiTree *T)
{
*T=NULL;
return OK;
}
/* 7.3 销毁二叉树
初始条件: 二叉树T存在。
操作结果: 销毁二叉树T
*/
void DestroyBiTree(BiTree *T)
{
if(*T)
{
/* 有左孩子 */
if((*T)->lchild)
DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */
/* 有右孩子 */
if((*T)->rchild)
DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */
free(*T); /* 释放根结点 */
*T=NULL; /* 空指针赋0 */
}
}
#define ClearBiTree DestroyBiTree
/*7.4 创建二叉树
按前序输入二叉树中的结点值(字符),#表示空树;
*/
void CreateBiTree(BiTree *T){
CElemType ch;
//获取字符
ch = str[indexs++];
//判断当前字符是否为'#'
if (ch == '#') {
*T = NULL;
}else
{
//创建新的结点
*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
//是否创建成功
if (!*T) {
exit(OVERFLOW);
}
/* 生成根结点 */
(*T)->data = ch;
/* 构造左子树 */
CreateBiTree(&(*T)->lchild);
/* 构造右子树 */
CreateBiTree(&(*T)->rchild);
}
}
/*
7.5 二叉树T是否为空;
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE
*/
Status BiTreeEmpty(BiTree T)
{
if(T)
return FALSE;
else
return TRUE;
}
/*
7.6 二叉树T的深度
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 返回T的深度
*/
int BiTreeDepth(BiTree T){
int i,j;
if(!T)
return 0;
//计算左孩子的深度
if(T->lchild)
i=BiTreeDepth(T->lchild);
else
I=0;
//计算右孩子的深度
if(T->rchild)
j=BiTreeDepth(T->rchild);
else
j=0;
//比较i和j
return i>j?i+1:j+1;
}
/*
7.7 二叉树T的根
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 返回T的根
*/
CElemType Root(BiTree T){
if (BiTreeEmpty(T))
return Nil;
return T->data;
}
/*
7.8 返回p所指向的结点值;
初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
操作结果: 返回p所指结点的值
*/
CElemType Value(BiTree p){
return p->data;
}
/*
7.8 给p所指结点赋值为value;
初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
操作结果: 给p所指结点赋值为value
*/
void Assign(BiTree p,CElemType value)
{
p->data=value;
}
#pragma mark--二叉树遍历
/*
7.8 前序递归遍历T
初始条件:二叉树T存在;
操作结果: 前序递归遍历T
*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}
/*
7.9 中序递归遍历T
初始条件:二叉树T存在;
操作结果: 中序递归遍历T
*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return ;
InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}
/*
7.10 后序递归遍历T
初始条件:二叉树T存在;
操作结果: 中序递归遍历T
*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树 */
PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树 */
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("二叉树链式存储结构实现!\n");
int I;
BiTree T;
CElemType e1;
InitBiTree(&T);
StrAssign(str,"ABDH#K###E##CFI###G#J##");
CreateBiTree(&T);
printf("二叉树是否为空%d(1:是 0:否),树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
e1=Root(T);
printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
printf("\n前序遍历二叉树:");
PreOrderTraverse(T);
printf("\n中序遍历二叉树:");
InOrderTraverse(T);
printf("\n后序遍历二叉树:");
PostOrderTraverse(T);
printf("\n");
return 0;
}