复杂度

一、概述

在描述算法复杂度时,经常用到o(1), o(n), o(logn), o(nlogn)来表示对应算法的时间复杂度, 这里进行归纳一下它们代表的含义: 这是算法的时空复杂度的表示。不仅仅用于表示时间复杂度，也用于表示空间复杂度。O后面的括号中有一个函数，指明某个算法的耗时/耗空间与数据增长量之间的关系。其中的n代表输入数据的量。

二、详解

1、O(n)，就代表数据量增大几倍，耗时也增大几倍。比如常见的遍历算法。
2、O(n^{2)，就代表数据量增大n倍时，耗时增大n的平方倍，这是比线性更高的时间复杂度。比如冒泡排序，就是典型的O(n}2)的算法，对n个数排序，需要扫描n×n次。
3、O(logn)，当数据增大n倍时，耗时增大logn倍（这里的log是以2为底的，比如，当数据增大256倍时，耗时只增大8倍，是比线性还要低的时间复杂度）。二分查找就是O(logn)的算法，每找一次排除一半的可能，256个数据中查找只要找8次就可以找到目标。
4、O(nlogn)，就是n乘以logn，当数据增大256倍时，耗时增大256*8=2048倍。这个复杂度高于线性低于平方。归并排序就是O(nlogn)的时间复杂度。
5、O(1)就是最低的时空复杂度了，也就是耗时/耗空间与输入数据大小无关，无论输入数据增大多少倍，耗时/耗空间都不变。 哈希算法就是典型的O(1)时间复杂度，无论数据规模多大，都可以在一次计算后找到目标（不考虑冲突的话）

三、扩展

1、快速排序(QuickSort)
思想：采用的分治法(Divide and Conquer)来实现
第一步：分解，数组arr[l..r]分为两个子数组arr[l..q-1]和arr[q+1..r],使得前面一个数组的元素小于等于arr[q],后面一个子数组的元素全部大于arr[q];
第二步：解决，通过递归调用快速排序，对两个子数组进行排序
第三步：合并，因为子数组都是原址排序的，所以是不需要合并操作的。
总结：快速排序通常是实际排序应用中最好的选择，因为他的平均性能是最好的：他的期望复杂度是O(nlogn);但最差的情况的时间复杂度是O(n^2)
2、归并排序(MergeSort)
思想：采用的分治法(Divide and Conquer)来实现
第一步，将数组分成两半
第二步：将这两半分别排序
第三步：将排好序的两个子数组归并成一个
总计：
归并排序的递归方程为：T(n)=2*T(n/2)+n
归并排序的实现复杂度为：O(nlogn)