单纯形法matlab_【运筹学】单纯形法之大M法和两阶段法

在上一篇文章中，

张敬信：【运筹学】单纯形法求解线性规划问题的Matlab实现​zhuanlan.zhihu.com

讨论了单纯形法求解线性规划问题，但是它需要约束系数矩阵包含一个单位矩阵，对应的变量指定为初始基变量。一般情况下，是不能保证这一点的，因此需要引入人工变量法，即添加人工变量构造出单位矩阵。

求解带有人工变量的线性规划问题，通常有两种方法：大M法和两阶段法。

一、大M法

例如，

引入人工变量

Matlab实现：

不需要重新写函数，调用上次的 SimplexMax 函数（见上一篇），就能实现。

%% 大M法
M = 10000;
A = [3 2 -3 1 0; 1 -2 1 0 1];
b = [6; 4];
c = [3 -1 -2 -M -M];
ind = [4 5];
[x, z, ST, ca] = SimplexMax(c, A, b, ind)

运行结果：

当然也可以进一步把单纯形表 ST 写入 Excel（见上一篇略）。

注：若运行结果不正确，是中间遇到两个相同的最小

,默认的最小下标不对，需要选另一个下标。另外，使用大M法时，需要用最大数代替M，但当某些系数与之较接近时，还是可能会出错。

二、两阶段法

所以，两阶段法无非就是调用两次 SimplexMax 函数（见上一篇），从第一次返回结果中，取出需要的信息用于第二次的输入，把这个衔接做好即可。

例如，

注意：原问题目标函数无论是求MAX还是求MIN，构造的 第一阶段问题目标函数都是求最小MIN。

用单纯形法求解若所得可行解目标函数值为0，表明原规划问题有基可行解。转入第二步：去掉人工变量，得到第二阶段的单纯形表，继续用单纯形法求解。

Matlab实现：

%% 第一阶段
A1 = [1 1 -1 0 0 1 0; 1 0 0 -1 0 0 1; 2 1 0 0 1 0 0];
b1 = [350; 125; 600];
c1 = [0 0 0 0 0 -1 -1];
ind1 = [6 7 5];
[x1, z1, ST1, ca1] = SimplexMax(c1, A1, b1, ind1)

运行结果：

%% 第二阶段
A2 = ST1(end-m1:end-1,4:end-3);   %2个人工变量, 2+1
b2 = ST1(end-m1:end-1,3);
c2 = [-2 -3 0 0 0];
ind2 = ST1(end-m1:end-1,2)';
[x2, z2, ST2, ca2] = SimplexMax(c2, A2, b2, ind2)

运行结果：

也可以进一步，把两个单纯形表 ST1 和 ST2 写入一个 Excel文件（注意错开位置，略）。

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主要参考文献：

胡运权，运筹学原理及应用（第六版），及其课件

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