巧用二叉树原理求解集合的幂集

巧用二叉树原理求解集合的幂集

 

         幂集是《离散数学》集合论中一个重要的概念，集合在《离散数学》中定义如下： 集合是一个元概念，它研究对象的全体，通常用大写字母表示集合。如集合A，集合B。集合的表示方式有两种，分别是例举法和描述法。

        如一个由大于1小于5的整数组成的集合，用例举法可以表示为：

设该集合为A，则 A={2，3，4 }

         用描述法可表示为：

设该集合为A，则A={x | 1<x<5 , x∈Z}

         集合的子集定义为：若对于一个集合B，它的所有元素都同时属于A，那么B是A的子集，特别的，如果一个集合没有任何元素，那么我们称它为空集，空集是任何集合的子集。同时，一个集合本身也是自己的子集。

         现在我们终于可以引出幂集的概念了，幂集被定义为：一个集合的所有子集组成的集合成为该集合的幂集。由此可见幂集是集合的集合。如集合A={1，2，3}，那么它的幂集为P(A)={ {},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} },一个有n个元素的集合，它的幂集有2 ⁿ个元素，这些元素都是该集合的子集。

         通过上面的简单介绍，我们看到，要求一个集合的幂集，在该集合所含元素较少时是可以很快看出的，但当集合元素增多时，幂集的元素则成几何级数增长，求集合的幂集变得非常困难。

         在这里，我编制了一个求集合幂集的程序，通过遍历一棵满二叉树，求解集合的幂集。程序的原理是：把求幂集元素的过程看作是在先序遍历一棵深度为n+1的满二叉树，从根节点开始，访问左孩子表示幂集元素（集合的子集）中不包含集合的第一个元素，访问右孩子表示幂集元素中包含集合的第一个元素，这样，在二叉树的第二层完成了对集合第一个元素的取舍，依次类推，当遍历到达第n+1层，也就是二叉树的叶子节点时，完成了集合所有元素的取舍，这时输出一个取舍后的幂集元素。满二叉树的第n+1层共有2 ⁿ个叶子节点，代表了集合的2 ⁿ个幂集元素，待遍历输出完整棵满二叉树的叶子节点，也就得到了我们要求的幂集。

         程序实现如下：

1    /*

2             code by: EricYou

3                date: 2006.1.7

4                blog: http://www.cnblogs.com/yxin1322 5

6     */

7

8    #include <stdio.h>

9    #include <string.h>

10

11    #define MAX_LENGTH 100 /*集合的最大元素个数*/

12

13    void PowerSet(char*, int, char*,int *);

14

15    int main()

16    {

17    	char a[MAX_LENGTH];		/*存储输入的集合*/

18    	char set[MAX_LENGTH]={"\0"};	/*储存集合的幂集元素*/

19    	int NumOfPowerSet=0;		/*幂集元素记数*/

20

21    	printf("Input the elements:");

22    	scanf("%s",a);

23

24    	printf("----------------------------\n");

25    	PowerSet(a,0,set,&NumOfPowerSet); /*调用递归函数*/

26    	printf("----------------------------\n");

27

28    	printf("Number of PowerSet: %d\n",NumOfPowerSet);

29

30    	return 1;

31    }

32

33    /*

34    	参数说明：	         char* a :	待求幂集的集合

35    			 int i :	当前分析到集合的第i个元素

36    		      char* set :	存储当前幂集元素状态

37    		       int* Num :	幂集元素记数

38    */

39    void PowerSet(char* a, int i, char* set, int * Num)

40    {

41    	char TempSet[MAX_LENGTH];

42

43    	strcpy(TempSet,set);

44    	if(i>=strlen(a))

45    	{

46    		printf("{%s}\n",set);

47    		(*Num)++;

48    	}

49    	else

50    	{

51    		PowerSet(a,i+1,TempSet,Num);

52    		strncat(TempSet,(a+i),1);

53    		PowerSet(a,i+1,TempSet,Num);

54    	}

55    }

     输入测试数据：ABCD,表示集合{A,B,C,D},得到输出数据如下：

Input the elements:ABCD
 -------------------------


{}


{D}


{C}


{CD}


{B}


{BD}


{BC}


{BCD}


{A}


{AD}


{AC}


{ACD}


{AB}


{ABD}


{ABC}


{ABCD}


-------------------------


Number of PowerSet: 16