数据结构与算法之美笔记——树与二叉树

摘要:

树是一种非线性表结构，多用链表的方式存储，也可使用数组存储，以节点为数据存储单元，节点的链接表示父子关系，二叉树是树的其中一种，一个父节点最多可以有两个子节点，遍历节点的时间复杂度为 。

树（Tree）

树长什么样

这种数据结构称为树，那一定和现实中的树存在着某些联系。首先我们来回忆一下现实中的树是什么模样，树都由根长起，然后分叉为枝丫，枝丫顶端生长出叶子，数据结构中的树也是类似的样子，只不过将现实中的树颠倒过来，树的关键位置都统称为「节点（Node）」，树的根称为「根节点」，叶子称为「叶子节点」，树枝分叉的位置也是节点，节点之间依靠树枝连接，直接连接的节点间存在父子关系，离根节点更近的是「父节点」，父结点分叉出直接相连的节点是它的「子节点」。

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树的三个属性

树除了以上介绍的特点以外还有三个属性，分别是「高度（Height）」、「深度（Depth）」和「层（Level）」，高度又有节点的高度和树的高度，几个属性的解释如下。

节点的高度 = 节点到叶子节点的最大边数
节点的深度 = 根节点到节点的边数
节点的层数 = 节点的深度 + 1
树的高度 = 根节点的高度

节点的高度和深度看起来很相似，不过是参照物不同而已，描述高度时的参照物是叶子节点，描述深度的参照物是根节点，这与现实生活中描述高度和深度是一致的。树只是对这一类型数据结构的统称，它也分为很多种类型，接下来介绍一下二叉树。

二叉树（Binary Tree）

现实中的树可以分叉多个枝丫，而数据结构中的树也是如此，而二叉树就是规定最多只能分叉两个枝丫，这意味着一个节点最多只能有两个子节点，结点分布在左右两边，以左边节点为根节点构成的树称为「左子树」，以右边子节点为根节点构成的树就是「右子树」。

二叉树中的特殊类型

即便二叉树看起来如此平凡，但不免也会出现几个骨骼精奇的特殊形态。如下图，一号树就是普通二叉树，而二号树每一层都处于满节点状态，这种二叉树被称为「满二叉树」，当然还有三号树，初看之下并不觉得其有什么特点，但仔细分析，三号树除了最后一层外其他层都是满节点状态，最后一层为满节点或右边连续缺少若干节点，这种二叉树被称为「完全二叉树」，这样看来满二叉树只是完全二叉树的一种特殊形态。

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满二叉树的特殊容易理解，但完全二叉树有何特殊之处？这个问题要从二叉树的存储形式说起，普遍情况下树都是使用链表进行存储，链表节点除存储自身数据外还存储左子节点指针和右子节点指针，但是树也可以使用数组存储，接下来用二叉树举例说明一下数组是如何存储树的。

首先将根节点存储在下标为 1 的数组元素中，根元素的左子节点存储在下标为 2 * 1 的数组元素中，右子节点存储在下标为 2 * 1 + 1 的数组元素中，其他节点也以同样规则存储，当前节点存储在下标为 i 的数组元素中，当前节点的左子节点存储在下标为 2 * i 的数组元素中，右子节点存储在下标为 2 * i + 1 的数组元素中，当前节点的父节点就存储在下标为 i / 2 的数组元素中。试想一下如果存储的是满二叉树或者完全二叉树时，节点的存储是连续的，而其他的二叉树都会出现数组元素空缺的状态，这也正是完全二叉树的特殊之处。

本来利用链表存储树挺不错的，为啥非要使用数组？使用链表时，存储子节点指针需要消耗存储空间，如果是数组就不存在这样的问题，数组获取当前节点的父节点的操作更加便捷，不过如果不是存储满二叉树或者完全二叉树时，数组中也会浪费大量的存储空间，所以在树的存储上普遍都是使用链表。

遍历二叉树

树的形态特殊，想要遍历树也有些方式方法，分别是「前序遍历」、「中序遍历」和「后序遍历」。这里的前中后都是以当前节点来说，当前节点存在左子节点和右子节点，要遍历这三个节点就有不同的顺序，而左子节点要保持在右子节点之前遍历，于是出现三种遍历顺序，如下所示。

中->左->右 前序遍历
左->中->右 中序遍历
左->右->中 后序遍历

代码实现

说了那么多，不如来段代码解解乏。

private class Node {
    private Node left;
    private Node right;
    private int data;


    public Node(int data) {
        this.data = data;
    }

    public void buildChildren(Node left, Node right) {
        this.left = left;
        this.right = right;
    }
}

public Node root;

public BinaryTree(int[] nodes) {
    root = buildTree(1, nodes);
}

private Node buildTree(int currIndex, int[] nodes) {
    if(currIndex >= nodes.length || nodes[currIndex] < 0) {
        return null;
    }

    Node node  = new Node(nodes[currIndex]);
    node.buildChildren(buildTree(currIndex * 2, nodes),buildTree(currIndex * 2 + 1, nodes));

    return node;
}

public void printNodesBefore(Node node) {
    if(node.left == null && node.right == null) {
        System.out.print(node.data + " ");
        return;
    }

    System.out.print(node.data + " ");
    System.out.print(node.data + "'s left:");
    printNodesBefore(node.left);
    System.out.print(node.data + "'s right:");
    printNodesBefore(node.right);
}

代码中我用递归的方式实现了前序遍历，关于中序遍历和后序遍历的实现可以到我的 Git 仓库 中查看。

遍历的时间复杂度

单独看递归方法中的代码时间复杂度是 ，但是递归的时间复杂度需要累积计算，遍历有 n 个结点的二叉树时间，需要递归 n 次，所以遍历二叉树节点的时间复杂度就是 。

总结

树是一种非线性表结构，使用节点作为数据存储单元，可以利用链表或者数组实现，链表实现的方式更加普遍。

二叉树是树的一种类型，一个节点最多只允许有两个子节点，二叉树中存在完全二叉树和满二叉树两种特殊形态，遍历二叉树可以使用前序、中序和后序三种遍历方式，二叉树遍历的时间复杂度是 。

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