Dijkstra算法——单源最短路算法

一、介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他各个节点的最短路径。

它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

适用于有向图和无向图，但不能有边权为负的情况。

二、基本思想

　　通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

　　  此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未确定最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

　　需要一个数组dis记录起点到各顶点的最短距离,初始化，dis[s] = 0,dis[v] = w,v与s右边时，其他dis[u] = INF。

　　初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径(这是因为新加入的顶点只会影响与之直接相连的点)。然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

三、正确性

不严谨的理解，S是以收录的顶点，最短距离已经确定，U是未确定的顶点；我们只需证明每次U中的最小值C(dis[C])，就是其最短距离。反证法：假如C到原点的最短距离不是dis[C],即存在中间点V，使得先到V再到C更近，如果V在集合S中，由于集合S中的所有顶点已经起作用，再经过S距离不会小于dis[C];如果V在集合U中，由于dia[C]已经是U中最小的了，途径其他点也不会小于dis[C]。所以我们可以每次都收录U中的最小的。

四、Dijkstra的图解

单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。

以G4这个图为例，进行算法演示(以第四个顶点D为起点)

五、一个有趣的辩论：Dijkstra算法的本质是贪心还是动态规划

　　一般意义上的贪心算法在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。

Dijkstra算法显然是从整体最优考虑，求出的最短路径，一定是整体最优解，这是和一般意义上的贪心算法相悖的地方。而且Dijkstra算法符合动态规划的这一特性：待求解的问题分解为若干个子问题，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在我看来，Dijkstra算法更接近动态规划。

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