深蓝-视觉slam-第四节习题

1，图像去畸变

实现代码：

#include 
#include 

using namespace std;
string iamge_file = "../test.png";

int main(int argc, char **argv)
{
    //畸变系数
    double k1 = -0.28340811, k2 = 0.07395907, p1 = 0.00019359, p2 = 1.76187114e-05;
    // 内参
    double fx = 458.654, fy = 457.296, cx = 367.215, cy = 248.375;

    cv::Mat image = cv::imread(iamge_file, 0);
    int rows = image.rows, cols = image.cols;
    cv::Mat image_undistort = cv::Mat(rows, cols, CV_8UC1);

    for(int v = 0; v < rows; v++) {
        for(int u = 0; u < cols; u++) {
            double u_distorted = 0, v_distorted = 0;
            double x  = (u - cx) / fx;
            double y = (v - cy) / fy;
            double r = sqrt(x * x + y * y);

            double x_distorted = x * (1 + k1 * r * r + k2 * r * r * r * r) + 2 * p1 * x * y + p2 * (r * r + 2* x * x);
            double y_distorted = y * ( 1 + k1 * r * r + k2 *r * r * r *r) + p1 * (r * r + 2 * y * y) + 2 * p2 * x * y;

            u_distorted = fx * x_distorted +cx;
            v_distorted = fy * y_distorted + cy;

            if(u_distorted >= 0 && v_distorted >= 0 && u_distorted < cols && v_distorted < rows) {
                image_undistort.at<uchar>(v, u) = image.at<uchar>((int) v_distorted, (int) u_distorted);
            } else {
                image_undistort.at<uchar>(v, u) = 0;
            }

        }
    }
    cv::imshow("image distorted ", image);
    cv::imshow("image undistorted", image_undistort);
    cv::waitKey(0);

    return 0;
}

CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 3.6)
find_package(OpenCV REQUIRED)
include_directories(${OpenCV_INCLUDE_DIRS})
add_executable(undistort_image  undistort_image.cpp)
target_link_libraries(undistort_image ${OpenCV_LIBS})

实现效果：

2，鱼眼模型与去畸变


（1）与针孔相机原理不同， 鱼眼相机采用非相似成像，在成像过程中引入畸变，通过对直径空间的压缩，突破成像视角的局限，从而达到广角成像。鱼眼相机具有更宽的视场，因此在相同的传感器区域中包含了更多的信息，这个对物体检测，视觉里程计和3D见图尤为有利。
（2）在OpenCV中，鱼眼相机是采用等距模型进行标定的。畸变类型也不是简单的由上述的径向畸变和切向畸变描述的。

（3）实现代码：

#include 
std::string input_file = "../fisheye.jpg";

int main(int argc, char **argv) {
  // 本程序实现鱼眼的等距投影去畸变模型
  // 畸变参数（本例设为零）
  double k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0, k4 = 0;

  // 内参
  double fx = 689.21, fy = 690.48, cx = 1295.56, cy = 942.17;

  cv::Mat image = cv::imread(input_file);
  
  int rows = image.rows, cols = image.cols;
  cv::Mat image_undistort = cv::Mat(rows, cols, CV_8UC3); // 去畸变以后的图

  // 计算去畸变后图像的内容
  for (int v = 0; v < rows; v++)
    for (int u = 0; u < cols; u++) {

      double u_distorted = 0, v_distorted = 0;

      // start your code here
      double x= (u - cx)/fx, y = (v - cy)/fy;
      double r = sqrt(x * x + y * y);
      double theta = atan(r);

      double theta_d = theta * (1 + k1 * pow(theta, 2) + k2 * pow(theta, 4) + k3 * pow(theta,6) + k4 * pow(theta, 8));
      double scale = theta_d / r;
      double x_distorted = scale *x;
      double y_distorted = scale * y;

      //去畸变后变换到像素
      u_distorted = fx * x_distorted  + cx;
      v_distorted = fy * y_distorted + cy;

      // 赋值 (最近邻插值)
      if (u_distorted > 0 && v_distorted > 0 && u_distorted < cols &&
          v_distorted < rows) {
        image_undistort.at<cv::Vec3b>(v, u) =
            image.at<cv::Vec3b>((int)v_distorted, (int)u_distorted);
      } else {
        image_undistort.at<cv::Vec3b>(v, u) = 0;
      }
    }

  // 画图去畸变后图像
  cv::imshow("image undistorted", image_undistort);
  // cv::imshow("fisheye", image);
  cv::imwrite("fisheye_undist.jpg", image_undistort);
  cv::waitKey();

  return 0;
}

CMakeLists.txt:

cmake_minimum_required(VERSION 3.16.3)
project(FISHE)
find_package(OpenCV 3.4.12 REQUIRED)
add_executable(fisheye fisheye.cpp)
target_link_libraries(fisheye ${OpenCV_LIBS})

实现效果：

（4）参考：https://blog.csdn.net/Gavinv/article/details/78386465?spm=1001.2014.3001.5502
由opencv官网给出的鱼眼相机模型为${\theta }_d=\theta (k_1{\theta }^2+k_2{\theta }^4+k_3{\theta }^6+k_4{\theta }^8)$等距投影函数 :$r=f\theta$ 通过泰勒公式展开，由于畸变参数$k_1,k_2,k_3,k_4$都等与0，只保留$\theta$一次项，相当于畸变系数$k_0=1$, 仍然含有畸变参数，所以即使$k_1,k_2,k_3,k_4$ 都为0，仍可以对畸变图进行校正。
（5）去畸变虽然解决了鱼眼相机的3D建图问题，但同时由校正后的图像可以看出也消除了鱼眼相机的主要优点，靠近图像边缘的信息高度失真，而靠近中心的对象被高度压缩。
在原有畸变校正公式中加入了尺度因子。首先，基于尺度因子建立新的图 像矩阵，因为畸变校正导致的边缘损失范围较小，因此尺度因子选为2可以满足大多数情况 要求，新建立的图像矩阵除左上角四分之一面积为源图像像素值，其他范围为全零矩阵，新 图像长宽为原始图像的2倍;然后将待校正图像平移至新图像中心区域，然后进行图像径向 畸变校正，校正完毕后获取图像中四个角点像素位置，提取矩形区域作为校正后的图像。这 样获取的校正后图像的完整信息都得到保留，但是会引入边缘的零像素区域，由于相邻相 机拍摄区域具有重叠部分，因此零像素区域可以通过重叠区域融合模块去除，最终实现在 无边缘损失的情况下的图像校正功能。

3，双目视差的使用

1.1 已知像素u,v,d求空间点坐标
x，y是相机坐标下的归一化平面上的坐标,此时的z = 1 , b 表示基线，d代表视差
x = (u - cx) / fx, y = (v - cy) / fy; z = fx * b / d;
由此可得，相机模型下三维点的坐标X，Y，Z为X = x * z; Y = y * z; Z = z;
1.2 已知相机模型下相机坐标的X,Y,Z求u,v,d

由三角形相似关系可以得到：(Z - f) / Z = (b - uL +uR) / b,在 整理可得到Z = (f - b) / (uL - uR),整理得到 视差d = uL - uR;
(X/Z , Y/Z ,Z/Z),为归一化平面上的点，然后乘以相机的内参就可以得到对应的像素坐标u,v
u = fx * X/Z + cx , v = fy * Y/z + cy;

题外知识：单目相机成像原理：

• 世界坐标系下有一个点P，世界坐标系为Pw.
• 由于相机在运动，它的运动由R，t或变换矩阵T描述。P的相机坐标为RPw + t;
• 这时Pc的分量为X，Y，Z，把他们投影到归一化平面上得到归一化坐标：Pc = $[X/Z,Y/Z,1{]}^T$;
• 有畸变时，根据畸变参数计算Pc发生畸变后的坐标；
• P的归一化坐标经过内参后，对应它的像素坐标为：Puv = KPc;
  我们谈到了四种坐标：世界坐标，相机坐标，归一化坐标和像素坐标。
  $$Z{P}_{uv}=Z\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=K(R{P}_w+t)=KT{P}_w\text{\hspace{1em}(1 )}$$

$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{Z}\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
2.1 推导在右目模型下该模型的变化
左右眼的相机内参是相同的。在右眼模型下，世界坐标系下的点Pw，在左眼相机坐标系下的坐标为RPw + t, 而左眼和右眼的相机坐标系只是发生了平移，即右眼坐标系下的坐标为PRw + t + b(基线），然后把该相机下的坐标在归一化平面表示，然后利用内参将其转为像素坐标即可。
3 编程
3.1 编程部分代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
using namespace Eigen;

// 文件路径，如果不对，请调v
string left_file = "../left.png";
string right_file = "../right.png";
string disparity_file = "../disparity.png";

// 在panglin中画图，已写好，无需调整
void showPointCloud(const vector<Vector4d, Eigen::aligned_allocator<Vector4d>> &pointcloud);

int main(int argc, char **argv) {

    // 内参
    double fx = 718.856, fy = 718.856, cx = 607.1928, cy = 185.2157;
    // 间距
    double d = 0.573;

    // 读取图像
    cv::Mat left = cv::imread(left_file, 0);
    cv::Mat right = cv::imread(right_file, 0);
    cv::Mat disparity = cv::imread(disparity_file, 0); // disparty 为CV_8U,单位为像素

    // 生成点云
    vector<Vector4d, Eigen::aligned_allocator<Vector4d>> pointcloud;

    // TODO 根据双目模型计算点云
    // 如果你的机器慢，请把后面的v++和u++改成v+=2, u+=2
    for (int v = 0; v < left.rows; v++) 
        for (int u = 0; u < left.cols; u++) {
            // if( disparity.at(v, u) <= 10.0 || disparity.at(v, u) >= 96.0) {
            //     continue;
            // }

            Vector4d point(0, 0, 0, left.at<uchar>(v, u) / 255.0); // 前三维为xyz,第四维为颜色

            // 根据双目模型计算 point 的位置
            double x = (u - cx) / fx;
            double y = (v - cy) / fy;
            double depth = fx * d / (disparity.at<char>(v, u));
            point[0] = x * depth;
            point[1] = y * depth;
            point[2] = depth;
            
            pointcloud.push_back(point);

        }
    

    cv::imshow("disparity", disparity);
    cv::waitKey(0);
    // 画出点云
    showPointCloud(pointcloud);
    return 0;
}

void showPointCloud(const vector<Vector4d, Eigen::aligned_allocator<Vector4d>> &pointcloud) {

    if (pointcloud.empty()) {
        cerr << "Point cloud is empty!" << endl;
        return;
    }

    pangolin::CreateWindowAndBind("Point Cloud Viewer", 1024, 768);
    glEnable(GL_DEPTH_TEST);
    glEnable(GL_BLEND);
    glBlendFunc(GL_SRC_ALPHA, GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA);

    pangolin::OpenGlRenderState s_cam(
            pangolin::ProjectionMatrix(1024, 768, 500, 500, 512, 389, 0.1, 1000),
            pangolin::ModelViewLookAt(0, -0.1, -1.8, 0, 0, 0, 0.0, -1.0, 0.0)
    );

    pangolin::View &d_cam = pangolin::CreateDisplay()
            .SetBounds(0.0, 1.0, pangolin::Attach::Pix(175), 1.0, -1024.0f / 768.0f)
            .SetHandler(new pangolin::Handler3D(s_cam));

    while (pangolin::ShouldQuit() == false) {
        glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);  //清空颜色和深度缓

        d_cam.Activate(s_cam);//激活显示，并设置相机的状态
        glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f); //设置背景颜色为白色

        glPointSize(2);
        glBegin(GL_POINTS);
        for (auto &p: pointcloud) {
            glColor3f(p[3], p[3], p[3]);
            glVertex3d(p[0], p[1], p[2]);
        }
        glEnd();
        pangolin::FinishFrame();
        usleep(5000);   // sleep 5 ms
    }
    return;
}

3.2 CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 3.6)
find_package(Pangolin REQUIRED)
find_package(OpenCV REQUIRED)
include_directories(${Pangolin_INCLUDE_DIRS})
include_directories(${OpenCV_INCLUDE_DIRS})
include_directories("/usr/include/Eigen")
add_executable(right-left disparity.cpp)
target_link_libraries(right-left ${OpenCV_LIBS} ${Pangolin_LIBRARIES} ${Eigen_LIBRARIES})

3.3 实现效果


4，矩阵运算微分


(1) $\frac{d(Ax)}{d_x}=A^T$
(2)


(3)
5，高斯牛顿法的曲线拟合实验

程序代码：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main(int argc, char ** argv[])
{
    double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0;         // 真实参数值
    double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0;        // 估计参数值
    int N = 100;                                 // 数据点
    double w_sigma = 1.0;                        // 噪声Sigma值
    cv::RNG rng;          

    vector<double> x_data, y_data;
    for(int i = 0; i < N; i++) {
        double x = i / 100.0;
        x_data.push_back(x);
        y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma));

    }

    int interations = 100;
    double cost = 0, lastcost = 0;

    chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();
    for(int iter = 0; iter < interations; iter++) {
        Matrix3d H = Matrix3d::Zero();
        Vector3d b = Vector3d::Zero();

        cost = 0;

        for(int i = 0; i < N; i++) {
            double xi = x_data[i], yi = y_data[i];
            double error = 0;
            error = yi - exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);

            Vector3d J;
            J[0] = - xi * xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);
            J[1] = -xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);
            J[2] = -exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);

            H += w_sigma * w_sigma * J * J.transpose();
            b += - w_sigma * w_sigma * error * J;
            cost = error * error;
        }

        Vector3d dx  = H.ldlt().solve(b);
        if(isnan(dx[0])) {
            cout << "result is nan!" << endl;
            break;
        }

        if(iter > 0 && cost >= lastcost) {
            cout << "cost " << cost << " >= last cost " << lastcost << "break" << endl;
            break;
        }

        ae += dx[0];
        be += dx[1];
        ce += dx[2];

        lastcost = cost ;

        cout << "total cost :" << cost << endl;
        cout << "updata :" << dx.transpose() << endl;
        cout << "testimated params:" << ae << "," << be << ","  << ce << endl;

    }

    chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();
    chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);
    // cout << "solve time cost =" <<  time_used.count() << "second" << endl;
    printf("\033[47;32m  ssolve time cost = %lf\033[0m\n" ,time_used.count());


    // cout << "estimated abc =" << ae << "," << be << "," << ce << endl;
    printf("\033[47;32m  stimated abc = %lf, %lf, %lf\033[0m\n" ,ae , be, ce);
}

CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 3.6)
find_package(OpenCV REQUIRED)
include_directories(${OpenCV_INCLUDE_DIRS})
add_executable(gauss   gaussnewton.cpp)
target_link_libraries(gauss ${OpenCV_LIBS})

运行结果：

6，批量最大似然估计

1,求H的具体形式

2，求信息矩阵W的形式

3,
最后一题来源：