北京交通大学最优化方法I2020-2021第1学期期末考试试题
我有一个朋友是北交的研究生，他告诉我他们好多数学课都没有近年的数学真题。所以他在2020年12月31日考完最优化之后冒着巨大的风险搞到了他的题目并亲手交给我要我发布，我为了不辱他的重托现将真题发布。若想下载pdf版本请点击下侧链接
https://download.csdn.net/download/qq_37043811/14070646
北京交通大学研究生考试试题(A)
课程名称：最优化方法 I
学年学期：2020-2021第一学期
一、（16分）
①你知道几种求解无约束优化问题 m i n f ( x ) \ min\,f(x) minf(x)的迭代算法？请列出三种及其相应的搜索方向的迭代公式。
②取初始点 x ( 0 ) = ( 1 , 1 ) T \ x^{(0)}=(1,1)^T x(0)=(1,1)T,采用牛顿法求解下面的无约束优化问题：
m i n f ( x ) = 2 x 1 2 + x 2 2 − 4 x 1 + 2 x 2 \ min\,f(x)=2x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}- 4x_{1}+2x_{2} minf(x)=2x12+x22−4x1+2x2
写出迭代步骤，并解释说明最终得到的迭代点就是最优解。
二、（18分）考虑约束优化问题（P1）：
m i n x 1 x 2 s . t . 2 x 1 − x 2 − 3 = 0 \ min \,\, x_{1} x_{2} \\ s.t.\, 2 x_{1} - x_{2} - 3 = 0 minx1x2s.t.2x1−x2−3=0
①给定 x ‾ = （ 3 4 , − 3 2 ) T \ \overline{x}=（\frac{3}{4},-\frac{3}{2} )^T x=（43,−23)T，利用约束优化问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件判断 x ‾ \ \overline{x} x是否是（P1）的局部最优解？
②定义外罚函数为
G ( x , c ) = x 1 x 2 + c 2 ( 2 x 1 − x 2 − 3 ) 2 \ G(x,c) = x_{1} x_{2} +\frac{c}{2}(2x_{1}-x_{2}-3)^{2} G(x,c)=x1x2+2c(2x1−x2−3)2,
试用外罚函数法求解（P1），并说明产生的序列趋向点 x ‾ \ \overline{x} x 。
三、（20分）考虑下面的线性规划问题（P2）：
m i n 2 x 1 − x 2 + x 3 s . t . 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ b 1 x 1 − x 2 + 2 x 3 ≤ b 2 x 1 + x 2 − x 3 ≤ b 3 x 1 ≥ 0 ， x 2 ≥ 0 ， x 3 ≥ 0 \ min \,\, 2x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ s.t.\, 3x_{1}+x_{2} +x_{3}≤b_1\\ x_{1}-x_{2} +2x_{3}≤b_2\\ x_{1}+x_{2}-x_{3}≤b_3\\ x_{1}≥0，x_{2}≥0，x_{3}≥0 min2x1−x2+x3s.t.3x1+x2+x3≤b1x1−x2+2x3≤b2x1+x2−x3≤b3x1≥0，x2≥0，x3≥0
利用单纯形法求解（P2）得到如下最优单纯形表：
| 基 | x 1 \ x_1 x1 | x 2 \ x_2 x2 | x 3 \ x_3 x3 | x 4 \ x_4 x4 | x 5 \ x_5 x5 | x 6 \ x_6 x6 | RHS |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | |
| x 4 \ x_4 x4 | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | -1 | -2 | 10 |
| x 1 \ x_1 x1 | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | 1/2 | 1/2 | 15 |
| x 2 \ x_2 x2 | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | -1/2 | 1/2 | 5 |
试回答下面的问题：
①确定 b 1 , b 2 , b 3 \ b_{1} ,b_2,b_3 b1,b2,b3的值，并把最优表补充完整。
②写出（P2）的对偶问题并根据给出的最优表求其对偶问题的最优解。
四、（28分）设 S ⊆ R n \ S\subseteq R^n S⊆Rn,函数 f : S → R \ f:S\rightarrow R f:S→R二阶连续可微，考虑约束优化问题（P3）
m i n f ( x ) s . t . x ∈ S \ min \,\, f(x) \\ s.t.\, x \in S minf(x)s.t.x∈S
①写出函数 f \ f f是凸函数的定义，并列出你所知道的判定函数 f \ f f是凸函数的充要条件。约束优化问题（P3）在什么条件下是凸规划？对于凸规划，你知道有什么好的性质？
②设 f ( x 1 , x 2 ) = ( x 2 − x 1 2 ) 2 , S = { ( x 1 , x 2 ) ∣ − 1 ＜ x 1 ＜ 1 ， − 1 < x 2 < 1 } \ f(x_1,x_2)=(x_2 - x_{1}^{2} )^{2},S=\left \{(x_1,x_2)|-1＜x_1＜1，-1
③考虑如下优化问题（P4）：
m i n x 1 2 − 5 x 1 + 4 x 2 s . t . 2 + x 1 − x 2 ≥ 0 x 1 − 2 ≤ 0 x 1 − ( x 2 − 3 ) 2 + 2 ≥ 0 \ min \,\, x_{1}^{2}-5x_{1}+4x_{2} \\ s.t.\, 2+x_{1}-x_{2} ≥0\\ x_{1}-2≤0\\ x_{1}-(x_{2}-3)^2+2≥0 minx12−5x1+4x2s.t.2+x1−x2≥0x1−2≤0x1−(x2−3)2+2≥0
（P4）是否是凸规划？说明理由。根据最优性条件求（P4）的最优解。
五、（18分）设 Q ∈ R n × n \ Q\in R^{n\times n} Q∈Rn×n对称设定， b ∈ R n \ b\in R^{n} b∈Rn且b≠0，考虑非线性规划问题（P5）：
m i n 1 2 x T Q x s . t . x ≥ b \ min \,\, \frac{1}{2}x^TQx \\ s.t.\, x≥b min21xTQxs.t.x≥b
试回答下面的问题：
①写出(P5)的 Lagrange 对偶规划。
②设 x ∗ \ x^{*} x∗是（P5）的最优解，证明 x ∗ \ x^{*} x∗与 x ∗ − b \ x^{*}-b x∗−b关于 Q 共轭。