雅可比迭代法

雅可比迭代法

设有线性方程组
（1）

其矩阵形式为

设系数矩阵A为非奇异矩阵，且

从式(1)的第个方程中解出，得其等价形式
(2)
取初始向量

对式(2)应用迭代法，建立相应的迭代公式
(3)
也可记为矩阵形式
(4)
若将系数矩阵A分解为

式中

则

变为

得

于是有

所以式(4)中的


式(3)和式(4)分别称为雅可比（Jacobi）迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵形式用于讨论迭代法的收敛性。

算法流程图

首先编写MATLAB函数文件agui_jacobi.m:
function x= agui_jacobi(a,b)
% a为系数矩阵，b为右端变量，x0为初始向量（默认为零向量）
% e为精度（默认为1e-6），N为最大迭代次数（默认值为100），x为返回解向量
format long
n=length(b);
N=100;
e=1e-6;
x0=zeros(n,1);
x=x0;
x0=x+2*e;
k=0;
d=diag(diag(a));
l=-tril(a,-1);
u=-tril(a,1);
while norm(x0-x,inf)>e&k