数据结构笔记【全-408统考】【附思维导图】

数据结构

思维导图

绪论

基本概念

• 数据

  • 信息的载体

• 数据元素

  • 数据的基本单位

• 数据项

  • 是构成数据元素的不可分割最小单位。学生记录是一个数据元素，由学号姓名这些数据项共同组成

• 数据对象

  具有相同性质的数据元素的集合，是数据的子集

• 数据类型

  • 数据类型是一个值的集合和定义在集合上的一组操作的总称。

  • 原子类型

    • 值不可分的数据类型

  • 结构类型

    • 可分的

  • 抽象结构类型

    • 抽象数据组织及与之相关的操作

数据结构三要素

• 算法的设计取决于所选的逻辑结构，而算法的实现依赖于所选的存储结构

• 逻辑结构

  • 数据元素之间的关系，分为线性结构和非线性结构

  • 线性结构

    • 线性表，栈，队列等

  • 非线性结构

    • 树、图、集合等

  • 集合（无关系）、线性结构（一对一）、树形结构（一对多）、图状结构或网状结构（多对多）

• 存储结构

  • 顺序存储

    • 可以随机存取，只能使用相邻的一整块存储单元，因此可能产生较多的外部碎片。

  • 链式存储、

    • 只能顺序存储。不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元，指针要占用额外空间

  • 索引存储

    • 检索速度快，附加的索引表额外占用存储空间。增加和删除数据时也要修改索引表，会消耗不少时间

  • 散列存储

    • 也叫哈希存儲。根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，
    • 其优点是检索、增加和删除结点的操作都很快：
    • 缺点是若散列函数不好，则可能出现元素存储单元的冲突，而解决冲突会增加时间和空间开销。

• 数据的运算

  运算的定义针对逻辑结构，运算的实现针对逻辑结构

复杂度分析

算法概念与特性

• 有穷性、确定性、可行性 、输入、输出

好的算法满足

• 正确性、可读性、健壮性、效率与低存储量需求

总结：

• 逻辑结构：栈，线性表，队列
• 顺序表，单链表，邻接表，单双链表，循环链表。
  还有一些名词：顺序存储，链式存储，索引存储，散列存储（哈希存储）。

线性表

顺序存储

• 顺序表

链式存储

• 单链表、双链表、循环链表、静态链表

总结几个判空

• 没有头结点的链表判空 head==null
• 有头结点的链表判空 head->next == null
• 循环单链表的判空： L->next =L
• 循环双链表的判空: L-next == L && L->prior==L

栈和队列

操作受限

• 栈

  • 基本概念

    • 栈的数学性质

      • 出栈元素的不同排列个数为
        (n个数的排列为A!,计算完排列之后别忘了取出不合适的)

    • 基本操作

  • 顺序栈

    • 操作

      • S.top。S.top=-1

        • 进栈

          • 栈未满的情况下：S.data[++S.top]=x;

        • 出栈

          • 栈不空的情况下：x=S.data[S.top–];

        • 判空

          • S.top==-1

        • 栈满

          • S.top==MaxSize-1

        • 栈长

          • S.top+1

      • S.top=0时，即top指向栈顶元素的下一位置。则入栈操作变成S.data[S.top++]=x,出栈为x=S.data[–S.top]

    • 区分top指向的是当前栈顶元素还是下一元素

  • 链栈

  • 共享栈

    • 初始指针

      • top0=-1，top1=Maxsize

    • 栈满

      • top1-top0=1

    • 进栈操作

      • 0号栈先加一再赋值，一号栈先赋值再加一

    • 出栈

      • 相反

    • 特点

      • 更好的利用存储空间，避免上溢

• 队列

  • 基本概念

    • 队首出（删除），队尾入队（增加）

    • 判空

      • Q.frontQ.rear0
      • 子主题 2

    • 判满

      • 无法判断，继而引出循环队列

  • 循环队列

    • 三种区分队空与队满方法

      • 牺牲一个元素

        • 队满

          • (Q.rear+1)%MaxSize ==Q.front

        • 队空

          • Q.front==Q.rear

        • 元素个数

          • （Q. rear-Q. front+MaxSize）% Maxsize

      • 增设表示元素个数

      • 增设tag数据成员

      • P79页循环队列出入队示意图

  • 链式队列

  • 双端队列

    • 输出受限的双端队列
    • 输入受限的双端队列

推广

• 数组

  • 一维数组

  • 多维数组

    • 压缩矩阵

      • 对称矩阵

      • 上下三角矩阵

        • 存储元素个数比对称矩阵多一

      • 三对角矩阵

        • 特点

          • ｜i-j｜>1

      • 按行优先和按列优先

    • 稀疏矩阵

      • 可采用三元组存储

栈和队列的应用

• 栈

  • 栈的括号匹配

    • 从左到右扫描，最后栈为空才算成功匹配

  • 前中后缀表达式

    • 后缀表达式：考虑算法的优先级，没有括号 ，遇到运算符，依次弹出栈中优先级高于或等于的运算符。
    • 中缀转前缀：从右往左扫描下一元素。（先出栈的是左操作数）
    • 后缀表达式转为中缀表达式
    • 表达式之间的互相转换
    • 后缀表达式的求值
    • 习题解析王道P98页

  • 栈的递归

    • 在于能发将原始问题转换为属性相同但规模交较小的问题。

    • 递归调用过程：

      • 在递归调用的过程中，系统为每一层的返回点、局部变量、传入实参等开辟了递归工作栈来进行数据存储，递归次数过多容易造成栈溢出等。而其效率不高的原因是递归调用过程中包含很多重复的计算。

• 队列

  • 队列的层次遍历

    • 层次遍历二叉树过程
    • 图的广度优先搜索（使用队列）

  • 队列在计算机系统中的应用

树与二叉树

树

• 递归的数据结构，也是一种逻辑结构

• 定义

  • 两个特点：前驱后继结点个数

• 术语

  • 祖先，双亲，子孙，孩子，兄弟结点

  • 结点的度，树的度

    • 树的度：树中结点的最大度数

  • 分支结点，叶子结点

    • 分支结点又称为非终端结点，其度大于0

  • 结点的层次，结点的深度，结点的高度，树的高度。

    • 结点的层次：从树根开始
    • 结点的深度：从根结点开始自顶向下逐层累加
    • 结点的高度：从叶结点开始自底向上逐层累加
    • 树的高度：树中结点最大层数

  • 有序树，无序树

    • 有序树，结点位置不能互换

  • 路径，路径长度

    • 路径是，两个结点之间所经过的结点序列。而路径长度是路径上经过的边的个数

• 树的性质

  • 树中的结点数等于所有结点数+1
  • 度为m的数中第i层至多有
  • 总结计算：由n=分支数+1，即n=1+n1+2n2+3n3+4*n4=n0+n1+n2+n3+n4

二叉树

• 概念

  二叉树是有序树

  • 二叉树和度为2度有序树区别

    度为2度有序树，结点至少三个，而二叉树可以为空
    二叉树的次序是绝对的，不能颠倒

  • 特殊二叉树

    • 满二叉树

      • 满

    • 完全二叉树

      • 左孩子

    • 二叉排序树

      • 相比根结点左小右大

    • 平衡二叉树

      • 左右子树的深度相差均不超过1

  • 二叉树的性质

    • 非空二叉树n0=n2+1

  • 二叉树的存储

    • 顺序存储
      • 适合满二叉树和完全二叉树
      • 存储时建议数组下标从1开始
    • 链式存储
      • 左右指针和数据域
      • 在n哥结点的二叉链表中，含有n+1个指针域

  • 总结：

    • 计算完全二叉树的结点个数，根据叶子结点进行计算。需要注意，最多最少的情况下，可能是倒数第二层最右边的代表叶子结点，也可能是最后一层代表。
    • 完全二叉树，根据结点个数和叶子结点个数求最多，需要考虑最后一层为奇数还是偶数，偶数的一半为消耗上层叶子结点个数，奇数要+1
    • 考虑极端情况下，结点个数
    • 根据树的那几个性质进行推算，注意奇偶数目

• 操作

  • 三种遍历

    • 先序遍历

      • 前缀表达式

    • 后序遍历

      • 中缀表达式（需要加界限符）

    • 中序遍历

      • 后缀表达式

    • 时间复杂度，空间复杂度都为O(n)

  • 线索二叉树

    • 引入线索二叉树的目的
    • 规定
    • 构造过程

  • 二叉树的计算题

    • 空指针的个数

    • 中序+后序推导

    • 中序+前序推导

    • 层序+中序推导

      • 王道第五章 08

• 应用

  • 排序二叉树

    • 平衡二叉树

  • 哈夫曼树

树，森林

• 树的存储结构

  • 双亲表示法

    • 利用结点唯一双亲的性质

    • 可以很快得到每个结点的双亲，但是求孩子结点，需要遍历整个结构

    • 区别二叉树的顺序存储和树的顺序存储

      • 二叉树的顺序存储即代表了结点的编号，也指示了各结点之间的关系。

  • 孩子表示法

    • 将每个结点的孩子结点都用单链表链接起来形成一个线性结构，n个结点n个孩子链表
    • 寻找子女非常方便，但是寻找双亲需要遍历

  • 孩子兄弟表示法

    • 二叉链表表示：每个结点分为三部分，结点值，指向结点第一个孩子结点的指针，指向结点下一个兄弟结点的指针。

    • 通过第二个指针可以方便找到结点的所有兄弟结点。

    • 最大优点，方便实现树转换为二叉树的操作，易于查找孩子结点。

      • 子主题 1

    • 缺点是从当前结点查找父结点比较麻烦

• 树，森林与二叉树的转换

  给定一颗树找到可以唯一的一颗二叉树与之对应，物理结构上看，他们的二叉链表上一样的，只是解释不同

    - 二叉树转换为树或者森林也是唯一的
  

  • 树转二叉树的规则

    • 左孩子右兄弟
    • 补充：树转成二叉树时，若有几个叶子结点具有共同的双亲，则转换成二叉树后之后一个叶子结点，

  • 树转二叉树的画法

    • 1。在兄弟结点之间加一条线
    • 2。对每个结点，只保留它与第一个孩子的连线，而与其它孩子的连线全部抹掉
    • 3。以树根为轴心，顺时针旋转45度

  • 森林转化为二叉树

    • 先将每棵树转换为二叉树，然后把其他树视为右兄弟。与上面相同

  • 森林转为二叉树的画法

    • 1。将森林的每棵树转换为响应的二叉树，
    • 2。每棵树的根也可视为兄弟关系在每棵树的根之间加一根连线
    • 3。以第一棵树的根为轴心顺时针旋转45度

  • 二叉树转换为森林的规则

    • 如果二叉树非空，则将二叉树的根和左子树视为第一棵树，将其右链断开
    • 二叉树的右子树又可以视为由森林转换的二叉树，直到只剩下一颗右子树为止
    • 将每棵二叉树分别转换

• 树和森林的遍历

  • 树的两种方式

    • 补充：无法使用中根遍历，因为可能会有多个孩子。也可使用层次遍历

    • 先根遍历

      • 对应二叉树的先序序列

    • 后根遍历

      • 对应二叉树的中序序列

  • 森林的两种遍历方式

    • 先序遍历森林

      • 对应二叉树的先序遍历

    • 中序遍历森林

      • 对应二叉树的中序遍历

• 补充总结：

  • 考试可能会考，树到二叉树之后的右指针变化，右孩子结点个数，原来两个结点之间的关系。需要我熟练掌握转换。没事多画画，带入特殊构造点。哈哈

树和二叉树的应用

• 二叉排序树BST

  • 中序遍历可得到递增序列

  • 二叉排序树的非递归查找算法

    • 查找失败：左或右为空

  • 插入

    • 二叉排序树的插入算法
    • 构造：从空开始

  • 删除

    • 被删除的三种情况

      • 1。叶子结点，直接删除
      • 2。若只有一颗左子树或右子树，直接用子树进行代替
      • 3。如果左右子树都有，则用其直接后继（或直接前驱）代替。然后从二叉树中删除这个元素，从而转换为前两种情况（中序遍历的后继元素，）（不要忘记对替代的元素删除后进行调整）

  • 查找

    • 查找效率取决于树的高度

    • 二分查找和二叉排序树的区别和联系

      • 时间性能差不多
      • 二叉排序树的查找不唯一，相同关键字的插入顺序不同，生成的二叉排序树可能不同
      • 维护有序时，二叉排序树不需要移动，执行时间为log2n.二分查找为哦（n).所以当有序表时静态时采用顺序表作为存储结构，二分查找实现，为动态查找表时，采用二叉排序树作为逻辑结构。

• 平衡二叉树AVL

  • 概念

    • 平衡因子

      • 左右子树的差值，只能是-1，0，1

  • 插入

    • 先检查是否会因插入导致失衡

    • 如果导致了失衡，需要进行调整。先找到距离最近的平衡因子绝对值大于1的结点A，再对以A为根的子树，进行调整到平衡。

    • 平衡二叉树的四种调整

      • LL平衡旋转（右单旋转）

        • 由于A的左孩子的左子树插入结点引起。左侧结点高，旋转到右侧
        • 最后两层看为一个整体，最上层为根结点进行右旋转一次。根结点的右结点变为新右结点的左结点。新右结点为根结点的父结点

      • RR平衡旋转（左单旋转）

        • 由于A的右孩子的右子树上插入结点引起。右侧结点高
        • 与ＬＬ相反

      • LR平衡旋转（先左后右双旋转）

        • A的左孩子的右子树上插入了一个结点
        • 先左旋C替换B，然后再右旋替换A

      • RL平衡旋转（先右后左双旋转）

        • 由于A的右孩子的左子树上插入新结点
        • 先右旋C替换B，然后左旋替换A

    • 注意⚠️平衡二叉树根据关键字插入。

  • 平衡二叉树的查找

    • 比较次数

      • 最多比较次数相当于树的最大高度

    • 深度为h的平衡二叉树的最少结点

      • 递推公式

        • 这种情况下其非叶子结点平衡因子也都是1

    • n个结点平衡二叉树的最大深度

      • Log2n向上取整

• 哈夫曼树和哈夫曼编码

  • 带权路径长度（WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树

    • 哈夫曼树的wpl计算，只计算叶子结点，别看错啦

  • 哈夫曼树的构造过程

  • 哈夫曼树的特点

    • 1。每个初始结点最终都成为叶结点，权值越小的结点到根结点的路径长度越大
    • 2。构造过程共新建了n-1个结点，总共2n-1个结点
    • 3。哈夫曼树不存在度为1度结点
    • 其他补充：哈夫曼树可能构造的不唯一（可为左或者右，影响哈夫曼编码），但wpl一定是相同且最优的

  • 哈夫曼编码

    • 编码

      • 固定长度编码

        • 每个字符用相同长度的二进制表示

      • 可变长度编码

        • 不同长度的

          • 优点是对频率高的字符赋予短编码，从而使得字符的平均编码长度减短，起到压缩数据的效果

      • 前缀编码

        • 没有一个编码是另外一个编码的前缀，称这种为

    • 哈夫曼树构造哈夫曼编码

      • 权值为字符出现的次数或频度
      • 字符仅出现在叶结点上
      • 0转向左孩子，右转向右孩子

    • 哈夫曼编码长度计算

      • 遵循前缀编码

    • 补充

      • 哈夫曼编码是对于确定的字符串来讲的（根据字符串的次数建立）

  • 哈夫曼树的推广

    • 需要添加权为0的假结点，并且离根最远

图

图的基本概念

• 图的定义

  • 图G是由顶点集V和边集E组成，记做G=(V，E)
  • V(G)代表顶点个数，不能为空
  • E(G)代表边关系的集合
  • |V|代表图G的顶点个数，也称为图G的阶
  • 补充：线性表可以是空表，树可以是空树，但是图不能是空图，也就是说，图不能一个顶点也没有，可以没有边，不能没有顶点

• 有向图

  • 注意是用表示边

• 无向图

  • 注意是用(v,w)表示

• 简单图

  • 一个图G若满足：①不存在重复边：②不存在顶点到自身的边，则称图G为简单图
  • 补充：数据结构中仅讨论简单图。

• 多重图

  • 若图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则G为多重图。多重图的定义和简单图是相对的

• 完全图

  • 对于无向图，E的取值范围是0到n（n-1）2，有n（n-1）/2条边的无向图称为完全图，在完全图中任意两个顶点之间都存在边。对于有向图，E的取值范围是0到n(n-1），有n(n-1）条弧的有向图称为有向完全图，在有向完全图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。

• 子图

  • 顶点和边的集合都是他的子集，可以说是图的子图
  • 注意：并非卩和E的任何子集都能构成G的子图，因为这样的子集可能不是图，即E的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个V的子集中

• 连通、连通图、连通分量

  • 在无向图中，若从顶点ν到顶点ν有路径存在，则称ν和w是连通的。
  • 若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图。
  • 无向图中的极大连通子图称为连通分量
  • 若一个图有n个顶点，并且边数小于n-1，则此图必是非连通图。
  • 注意：弄清连通、连通图、连通分量的概念非常重要。首先要区分极大连通子图和极小连通子图，极大连通子图是无向图的连通分量，极大即要求该连通子图包含其所有的边；极小连通子图是既要保持图连通又要使得边数最少的子图

• 强连通、强连通分量

  • 在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点ν之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的

  • 若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。

    • 强连通图和完全有向图区别

  • 有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量，

  • 注意：强连通图、强连通分量只是针对有向图而言的。一般在无向图中讨论连通性，在有向图中考虑强连通性

• 生成树、生成森林

  • 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
  • 若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。
  • 对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
  • 在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

• 顶点的度，入度和出度

  • 对于有向图，顶点v的度分为入度和出度，有向图的入度与出度和相等，并且等于边数。
  • 无向图全部顶点度的和等于边数的二倍
  • 顶点的度等于其入度和出度之和

• 边的权和网

  • 边上标的数值称为边的权
  • 有权值的图就就叫做网
  • 带权路径长度：一条路径上所有边的权值之和

• 稠密图和稀疏图

  • 边的多少，没有具体划分，一般是E

• 路径、路径长度和回路

  • 两个顶点直接的路径是经过顶点的集合
  • 路径上边的数目称为路径长度
  • 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称回路

• 简单路径、简单回路

  • 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。
  • 除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

• 距离

  • 如果两个顶点直接存在路径，则最短的路径称V到E为距离

• 有向树

  • 个顶点的入度为0、其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树。

• 常见考点

  • 对于n个顶点的无向图G，

  • 对于n个顶点的有向图G

图的存储及基本操作

• 邻接矩阵法

  • 无向图的邻接矩阵是对称的，可只存储上下三角矩阵

  • 对于无向图，每行或列非0元素的个数是改顶点的度

  • 对于有向图，行个数对应出度，列对应入度

  • 特点：容易检验出两个顶点之间是否有边相连，但是要确定多少边，必须要按行或列检测，时间代价大

    • 稠密图适合使用邻接矩阵存储表示

  • 设图G的邻接矩阵为A，An的元素An[i][j]等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目

• 邻接表法

  • 特点

    • 无向图存储空间为O（V+2E），有向图存储空间为O（V+E）
    • 稀疏图，采用邻接表会节省存储空间
    • 可以在O（n)下找到某顶点的所有可到达邻边，但是要确定两个顶点之间是否存在边则需要在边表中进行查询，效率低
    • 无向图的度就等于结点数，只考虑度。
    • 有向图。要考虑入度和出度，出度可直接数结点个数
    • 有向图的邻接表中，一个顶点的出度只需要计算其邻接表中结点的个数，但是其顶点的入度需要遍历全部的邻接表
    • 图的邻接表表示不唯一，但邻接矩阵的表示却是唯一的

• 十字链表

  • 有向图的一种链式存储结构

  • 特点

    • 空间复杂度
    • 如何找到指定顶点的所有出边？——顺着绿色线路找
      如何找到指定顶点的所有入边？——顺着橙色线路找

  • 图的十字链表表示是不唯一的，但一个十字链表的表示是一个确定的图

• 邻接多重表

  • 无向图的另一种链式存储结构

  • 区别

    • 同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点

• 四种存储的对比

• 图的基本操作

图的遍历

• 广度优先遍历(BFS)

  • 借助辅助队列

  • 复杂度

    • 邻接表存储时

      • 时间复杂度为O(|V|+|E|)
      • 空间复杂度最坏为O(|v|)
      • 访问

    • 邻接矩阵

      • O(V^2)

    • 分析时只需要分析访问的顶点和邻接点需要的时间

  • 广度优先生成树

    • 根据广度优先遍历得到的
    • 基于邻接表存储的广度优先生成树不唯一，

• 深度优先遍历（DFS）

  • 借用栈

  • 类似树的先跟遍历

  • 空间复杂度

    • 空间复杂度：最好o(1)
    • 最坏o(|V|)
    • 没有特殊说明，写最坏的复杂度

  • 时间复杂度

    • 邻接矩阵

      • O(V^2)

    • 邻接表存储时

      • 时间复杂度为O(|V|+|E|)

  • 深度优先遍历邻接表的访问过程，并给出访问序列

• 图的生成树特点

• 图的遍历如何来确定图的连通性？有向图？无向图？

• 求解图的连通性问题，拓扑排序，求解关键路径

图的基本应用

• 最小生成树

  • 求最小生成树的两种方法

    • Kruskal算法

      • 每次选最小的边使两个顶点相连（原本已经连通就不选）

    • Pim算法

      • 每次选取离树最近的点加入该生成树

  • 最小生成树的概念是？

    • 唯一？多个？

• 最短路径

  • 单源最短路径

    • BFS算法（无权图）

      • 过程？

    • Dijkatra算法（带权图，无权图）

      • 执行过程？

        • 从V1开始遍历寻找能够到达最小的顶点路径，然后加入到集合中
        • 分为n-1次执行过程，不包含开始节点，每次选取最小能到达的

      • 复杂度

      • 不适用于求带负权值的图？

      • 基于贪心

  • 每对顶点间的最短路径

    • Floyd算法（带权图，无权图）

      • 执行过程？

        • 初始：
        • 以V0为顶点进行中转
        • n 轮递推

      • 基于动态规划

• 有向无环图：DAG图

  • 描述含有公共子式的有效工具，共享，节约空间
  • 什么是有向无环图？
  • 二叉树和有向无环图描述表达式的表示对比

• 拓扑排序:AOV网

  • 算法步骤？

    • 输出没有前驱节点的顶点（入度为0）

  • 逆拓扑排序

    • 删除没有后继的顶点（出度为0）

  • 可以用DFS实现拓扑排序或逆拓扑排序

  • 拓扑排序不可以唯一确定一个图

  • 如果不能构成一个拓扑排序，则存在回路，即含有顶点数目大于1的强连通分量？why ?

  • 三角矩阵是一个有序的拓扑序列（可能不唯一）

• 关键路径：AOE网

  • 关键路径

    • 最早开始时间和最晚开始时间相同的点边连成的路径

  • 求关键路径

    • 1。求事件的最早发生事件，并行取最大值
    • 2。求事件的最晚发生事件，逆过程，并行取最小
    • 3。根据1确定活动的最早发生时间。等于弧的起点的最早开始时间
    • 4。根据2确定活动的最晚开始时间，等于，弧的顶点减去弧长
    • 3，4差值为0的边的组合为关键活动，每个关键路径上的事件构成关键路径
    • 注意⚠️，关键路径可能有多个。缩短工期时如果仅缩短一条关键路径是没用的。必须加快这个关键活动在每个关键路径都包含的

• 可以通过什么判定有向图是否存在回路？

  • 拓扑排序和深度优先遍历，求关键路径P257

查找

基本概念

• 平均查找长度ASL（会计算成功和失败）

  • 一次的查找的长度是需要比较的关键字次数
  • 平均查找长度是所有查找过程中进行关键字的比较次数的平均值
  • 区分，平均比较次数
  • 模拟查找过程，有序表是右叶子不存在

• 静态查找

  • 顺序、折半、散列查找

• 动态查找

  • 需要动态的插入或删除操作
  • 查找、散列查找

线性结构

• 顺序查找

  • 逐个遍历

• 折半查找(仅适用于有序的顺序存储结构)

  • 掌握代码，算法过程。

• 分块查找

  • 又称索引顺序查找，详细见操作系统中文件系统

  • 如果索引查找和块内查找均采用顺序查找

    • ASL=LS+LI
    • ASL=(b+1)/2+(s+1)/2
    • b为将数据分为b块，每块有s个记录

  • 如果索引查找采用折半查找而块内查找均采用顺序查找

    • ASL=LS+LI
    • ASL={log2^(b+1)}向上取整+(s+1)/2

树形结构

• 二叉排序树

• 二叉平衡树

• B树

  • B树的基本特点

    • 1。每个节点最多，m个子树，m-1个节点
    • 2。如果根节点不是只有自己，他就至少俩子树
    • 3。除了根节点的非叶节点都有「m/2】个子树，即最少可以是-1个关键字

  • 高度范围

  • 插入

    • 分裂:

      • 【m/2】分为两部分，左部分不动，右部分新节点，【m/2】的结点插入父节点

  • 删除

    • 如果k不在终端，需要用k的前驱代替k

    • k在终端结点（最低层非叶子结点）时

      • 直接删除:兄弟结点≥【m/2】

      • 兄弟够借

      • 兄弟不够借

        • 双亲和左或右兄弟合并

  • B树的插入、删除、查找过程

• B+树

  • B+树了解基本概念和性质

    • 与b树的区别差异

散列表

• 性能分析

  • 构造方法

    • 直接定址法

      • 适合关键字分布基本连续

    • 除留取余法

    • 数字分析法

    • 平方取中法

• 冲突处理

  • 开放定址法

    • 线性探测

      • di=i

    • 平方探测

      • di=±i^2

    • 再散列

    • 伪随机序列法

  • 拉链法

    • 存在一个链表里，类似十字链表法

  • 影响冲突的三个因素

• 查找成功、失败的ASL

• 注意

  • 在除留取余法，除数的确定一般取小于散列表长的最大质数

  • 装填因子

    • a=表中记录数n/散列表长度m

  • 散列表

    • Asl依赖于装填因子，不依赖于n和m

    • 散列表的删除不能简单进行删除?

      搜索路径会被中断，可以标记删除

排序

内部排序

• 插入排序

  • 直接插入排序

    • 依次将2—n个元素插入到前面已排好序的子序列中，比较是从右到左比较

  • 折半插入排序

  • 希尔排序

    • 对于i+nd上的元素进行直接插入排序，然后缩小到d=1
    • 大规模数据很高效

• 交换排序

  • 冒泡排序

    • 最好比较n-1次
    • 每次都可以将一个元素放到最终位置上

  • 快速排序

    • 分置思想：每次排序形成一个左边小右边大的序列

• 选择排序

  • 简单选择排序

    • 从后面未排序的序列中找到最小的放到前面，区分插入排序

  • 堆排序（重点）

    • 过程：先按照层次遍历建立好二叉树，然后进行调整，调整是自下而上（自右向左）进行。之后再自上而下。大根堆是和最大的优先交换，小根堆是刚好相反。
    • 如果输出堆顶需要先将最下面的替代顶，然后从上到下调整，调整是和最大的进行互换。
    • 排序算法适合关键字较多的情况下。如1亿个选出100个最大的
    • 堆排序的复杂度？
    • 插入元素和删除元素的复杂度？

• 归并排序

  • 最好最坏相同

    • 10tb大文件排序

• 基数排序

  • 从低位开始串联（默认是最低位优先）

外部排序

• 外部排序

  • 多路归并排序

各种排序算法的比较p346页，很重要。

基于比较的排序，最少的比较次数

选择排序和归并排序的比较次数和初始状态无关

字符串模式匹配

考纲要求：统考大纲只要求掌握字符串模式匹配，需重点掌握KMP匹配算法的原理及next数组的推理过程，手工求next数组可以先计算出部分匹配值表然后再变形，或根据公式来求解。了解 nextval数组的求解方法。

模式匹配

• 子串的定位操作称为串的模式匹配，是求子串在主串的位置

匹配方式

• 暴力匹配

  • 复杂度为O（m*n)

• KMP

  • 优点

    • 主串不回溯

  • 前缀和后缀匹配

    • 串的前缀：包含第一个字符，且不包含最后一个字符的子串
    • 串的后缀：包含最后一个字符，且不包含第一个字符的子串
    • 通过前缀和后缀可以求出PM表

  • 求解NEXT数组

    • NEXT数组的第一个和第二个分别为0和1
    • Next数组等于PM表右移，（然后整体+1，要看首位是-1还是0）
    • 或者按王道课上面的直接找前面相同的最大前缀和后缀 ，最后要+1 。abax 对x前面的aba进行分析为 ab ab最长，next就是 2+1；如果是 ababac x 那么next就是1

• 改进KMP

  • 求nextval数组