实心多边形重心的计算公式及推导

先上结果：

假设是某个多边形的顶点且逆时针排列，则

 

推导过程：

 对于平面上一般区域，其重心计算公式为

                                                              

利用散度定理：

先计算：

注意恰好是顺时针旋转90度得到的向量，于是他的横坐标为，于是有

对i进行求和并注意到，于是有

在和式中第一项指标减一，得到和式的值为

于是是的横坐标为

，

同理可得到纵坐标为

剩下的就是计算面积了，这个不用多说就是

这样就得到了最后的结果。

 

推广：

可以看到上述公式变形后就是三角形重心的加权平均，但是权重并不是他们的面积，这个面积具体表示什么暂时还没有想好，有兴趣的读者可以自己想一下，不知道可不可以推广到三维空间。

 

笔者水平有限，推导过程及公式如有纰漏，欢迎大家指出。