迭代求解线性方程组的解

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数值分析编程作业2

对于迭代方法求解线性方程组的解：

• 首先系数矩阵A应当是非奇异方阵，这样能够保证AX=b不是超定方程组，且有唯一的非零解；
• 常用的方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法和共轭梯度迭代法；
• 对于迭代方法要判定其收敛性，对于Jacobi和G-S迭代

1. 系数矩阵A是严格对角占优矩阵的话，两者迭代必收敛；
2. 若系数矩阵A对称正定，G-S迭代收敛；
3. 然后是X(k+1)=BX(k)+f 中迭代矩阵B的范数(通常是1范数和∞范数)小于1，两迭代方法均收敛（充分条件）；
4. 求解迭代方程 X(k+1)=BX(k)+f 中迭代矩阵B的谱半径ρ，判断其是否小于1，若是则两迭代法均收敛（充要条件），否则不收敛。

• 对于超松弛迭代（SOR),当权值参数ω为1是，其退化为G-S迭代。

编程实现

对于该问题的MATLAB实现如下：

function xc = linearEqs_iterSolve( x0, tol, A, b, option ,omega)
%实现了Jacobbi迭代和超松弛迭代方法，当参数omega为1时，即为高斯-赛德尔迭代
%x0为线性方程组解的初始值，tol为误差限，A为线性方程组系数矩阵，b为常数向量，
%option为1表示使用Jacobbi迭代，2表示使用超松弛迭代，超松弛因子默认为1，可缺省，也可指定。
    if nargin == 5
        omega = 1; %如果缺省omega参数，则默认为高斯-赛德尔迭代
    end
    
    [D,L,U]=factorizeMatrix(A); %求得系数矩阵的分解矩阵，以便进行迭代矩阵的求解
    
    x_previous = x0;
    error = 0; %使用相邻两次迭代解的欧式距离作为误差值
    itr_cnt = 1; %记录迭代次数
    %disp('NO.ITER          X1                X2                X3              ITER_ERROR                X5                X6             ITER_ERROR')
    disp('NO.ITER          X1                X2                X3              X4                X5                X6             ITER_ERROR')
    switch(option)
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
        case {1} %1代表使用Jacobbi迭代
             Bj = D\(L+U);%Jacobbi迭代的迭代矩阵
             Fj = D\b;
             while 1
                 x_next = Jacobbi(Bj,Fj,x_previous);
                 if(itr_cnt ~= 1) %第一次迭代不用进行收敛判断
                    %error = sum(dist(x_next,x_previous)); %记录每次迭代的误差
                    error = norm((x_next-x_previous),inf);
                    %if(error < tol || itr_cnt >100)
                    if(error < tol ) %当误差小于设定的阈值时，判定为收敛，退出循环
                        display(itr_cnt, x_next, error);%打印出最后一次迭代得到的不动点信息
                        break
                    end
                 end
                 x_previous = x_next;%将该次迭代得到的迭代值保存到x_previous中去
                 display(itr_cnt, x_next, error);%打印迭代的数值信息
                 itr_cnt = itr_cnt+1;%该次迭代完成，迭代次数记录值加1
             end
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
        case {2}%2代表使用超松弛SOR迭代
            L_SOR = inv((D-omega*L))*((1-omega)*D+omega*U);
            while 1
                 x_next = SOR(L_SOR,D,L,b,omega,x_previous);
                 if(itr_cnt ~= 1) %第一次迭代不用进行收敛判断
                    %error = sum(dist(x_next,x_previous)); %记录每次迭代的误差
                    error = norm((x_next-x_previous),inf);
                    %if(error < tol || itr_cnt >100)
                    if(error < tol) %当误差小于设定的阈值时，判定为收敛，退出循环
                        display(itr_cnt, x_next, error);%打印出最后一次迭代得到的不动点信息
                        break
                    end
                 end
                 x_previous = x_next;%将该次迭代得到的迭代值保存到x_previous中去
                 display(itr_cnt, x_next, error);%打印迭代的数值信息
                 itr_cnt = itr_cnt+1;
             end
    end
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    xc = x_previous;
end

function [dia, low, upper] = factorizeMatrix(A) 
    dia = diag(diag(A));    %主对角元组成的矩阵
    upper = -(triu(A)-dia); %上三角元素的相反数组成的矩阵
    low = -(tril(A)-dia);   %下三角元素的相反数组成的矩阵
end

function xk = Jacobbi(Bj,Fj,x) %Jacobbi迭代法的求解函数
    xk = Bj*x + Fj;
end

function xk = SOR(L_SOR, D, L, b, omega, x) %超松弛迭代法的向量化计算函数
    xk = L_SOR*x + omega*inv(D-omega*L)*b;
end

function display(itr, x_next, error) %迭代信息的格式控制输出函数
   formatSpec = '%0.13f   %0.13f   %0.13f   %0.13f   %0.13f   %0.13f';
    if(itr < 10)
        disp([' ',num2str(itr),'       ',sprintf(formatSpec,x_next(1),x_next(2),x_next(3),x_next(4),x_next(5),x_next(6))...
            ,'       ',sprintf('%0.9f',error)]);
    else 
        disp([num2str(itr),'       ',sprintf(formatSpec,x_next(1),x_next(2),x_next(3),x_next(4),x_next(5),x_next(6))...
            ,'       ',sprintf('%0.9f',error)]);
    end
%     formatSpec = '%0.13f   %0.13f   %0.13f';
%     if(itr < 10)
%         disp([' ',num2str(itr),'       ',sprintf(formatSpec,x_next(1),x_next(2),x_next(3))...
%             ,'       ',sprintf('%0.9f',error)]);
%     else 
%         disp([num2str(itr),'       ',sprintf(formatSpec,x_next(1),x_next(2),x_next(3))...
%             ,'       ',sprintf('%0.9f',error)]);
%     end
end

测试代码：

%Homework 2
A=[3 -1 0 0 0 1/2;
   -1 3 -1 0 1/2 0;
   0 -1 3 -1 0 0;
   0 0 -1 3 -1 0;
   0 1/2 0 -1 3 -1;
   1/2 0 0 0 -1 3]; %系数矩阵A
b = [5/2 3/2 1 1 3/2 5/2]'; %常数向量b

%x0 = zeros(6,1);
x0_2 = [2 4 3.2 4.1 0.6 1.1]';
tol = 10^(-5);
disp('Jacobi');
xj = linearEqs_iterSolve( x0_2, tol, A, b, 1 );
disp('SOR and omega = 1');
xg_s_1 = linearEqs_iterSolve( x0_2, tol, A, b, 2);
disp('SOR and omega = 1.1');
xg_s_2 = linearEqs_iterSolve( x0_2, tol, A, b, 2, 1.1);
disp('SOR and omega = 1.2');
xg_s_3 = linearEqs_iterSolve( x0_2, tol, A, b, 2, 1.2);
disp('SOR and omega = 1.3');
xg_s_4 = linearEqs_iterSolve( x0_2, tol, A, b, 2, 1.3);
disp('SOR and omega = 1.4');
xg_s_5 = linearEqs_iterSolve( x0_2, tol, A, b, 2, 1.4);
disp('SOR and omega = 1.5');
xg_s_6 = linearEqs_iterSolve( x0_2, tol, A, b, 2, 1.5);

实验结果

分别用Jacobi迭代法，SOR迭代法，其中（omega=1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5）进行迭代求解，可得到迭代结果如下：





可以看出，在选取适当的ω时，SOR迭代的收敛速度要比Jacobi迭代法要快的多，但是当ω选取的值不好的时候，SOR迭代的性能甚至不及Jacobi迭代。同时当ω取1时，SOR迭代就退化为Gauss-Seidel迭代了，G-S迭代可认为是对Jacobi迭代的一种改进，其思想是在迭代时尽量利用最新的信息。此外，对于SOR迭代而言，ω的选取可以通过简单代入迭代尝试的方法来确定。