【矩阵论】1. 准备知识——复数域上的矩阵与换位公式

矩阵论
1. 准备知识——复数域上的矩阵与换位公式)
1. 准备知识——复数域上的内积域正交阵
1. 准备知识——相似对角化与合同&正定阵
2. 矩阵分解—— SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——乔利斯分解&平方根公式
2. 矩阵分解——正规谱分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规分解
2. 矩阵分解——单阵及特征值特征向量一些求法

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矩阵论准备知识，很多内容都是线性代数的扩展

1.1 相似

设 A、B为n阶方阵，如果存在可逆阵P，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称A与B相似，记为 $A\sim B$

1.1.1 相似性质

1. 自反性：$A\sim A$ ，$I^{-1}AI=A$
2. 对称性：$A\sim B\Rightarrow B\Rightarrow A$
3. 传递性：$A\sim B且B\sim C\Rightarrow A\sim B$

所以，方阵之间的相似关系是一种等价关系

1.1.2 定理：A与B相似，则有相同特征根公式

若A与B相似，则有

$$\begin{array}{r}|xI-A|=|xI-B|\end{array}$$

即A与B的特征根公式相同，其中A与B都是n阶方阵

*证明

可设 $P^{-1}AP=B$ ，则有

$$\begin{array}{rl}\mid xI-B\mid & =\mid xI-P^{-1}AP\mid =\mid P^{-1}(xI-A)P\mid \\ & \stackrel{\text{行列式计算}}{=}\mid xI-A\mid \end{array}$$

由相似，可将A与B矩阵表示为 $A\sim B$ 或者 $AP=PB$ ，其中P为可逆矩阵

推论

1. n阶方阵 $A_{n\times n}$ 的特征值为 $\lambda (A)=\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n\}$ 可包含重复特征值

$$\begin{array}{rl}& eg：\\ & A=\left(\begin{array}{c}11\\ 11\end{array}\right),\lambda (A)=\{2,0\}\\ & \\ & A=\left(\begin{array}{c}21\\ 03\end{array}\right),\lambda (A)=\{2,3\}\\ & \\ & A=\left(\begin{array}{c}21\\ 02\end{array}\right),\lambda (A)=\{2,2\}\end{array}$$

2. 进而，特征多项式 $\mid \lambda I-A\mid$ 必可分解为 $\mid (\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)...(\lambda -{\lambda }_n)\mid$
3. 若 $A\sim B$ ，则特征多项式相同，进而其分解式相等，得出结论，A与B的特征值相同，即 $\lambda (A)=\lambda (B)$

总结：$相似\iff 特征多项式相同\Rightarrow 特征值相等$

$特征值相等\stackrel{实对称矩阵}{\Rightarrow }相似$

特征值是相似变化下的不变量

1.2 换位公式

设问：若 $A=A_{n\times p},B=B_{p\times n}，且p\le n$ ，则 $\Rightarrow (A\bullet B)$ 为 n 阶方阵， $(B\bullet A)$ 为 p 阶方阵，求其特征值

1.2.1 定义

$\mid \lambda I_n-AB\mid ={\lambda }^{n-p}\mid \lambda I_p-BA\mid$

• AB为n阶方阵，BA为P阶方阵

可见AB与BA两个方阵特征值基本相等

*证明

1.2.2 推论

若 $A=A_{n\times p},B=B_{p\times n}，且p\le n$ ，则 $\Rightarrow (A\bullet B)$ 为 n 阶方阵， $(B\bullet A)$ 为 p 阶方阵

1. 若BA的特征根 $\lambda (BA)=\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_p\}$ ，则 AB 的特征根 $\lambda (AB)=\{{\lambda }_1,{\lambda }_2...,{\lambda }_p,0,...,0\}(含n-p个零根)$ ，可见 $AB$ 与 $BA$ 只差 $n-p$ 个零根，其余根相同

   

   即AB与BA必有相同非零根

   

2. 由于 AB与BA 只相差 n-p 个零根，所以 $tr(AB)=tr(BA)$

   证：$tr(AB)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_p+0+\cdots +0=tr(BA)$

3. $\mid I_n\pm AB\mid =\mid I_p\pm BA\mid$ ，当 $\lambda =1,A取-A$ 时，分别可证

4. 若 n>p，则 $\mid AB\mid =0$

   $$\begin{array}{rl}& 证：AB为n阶矩阵，由于r(AB)\le r(A)\le p<n(矩阵的秩越乘越小)\\ & 故\mid AB\mid =0\end{array}$$

   或者考虑 AB 为 n 阶方阵，而只有p个非零特征值，p < n，故必有零特征值，$\mid AB\mid =\prod {\lambda }_i=0$

   

$$\begin{array}{rl}& 例3：P=\left(\begin{array}{c}IA\\ 0I\end{array}\right),求证P^{-1}=\left(\begin{array}{c}I-A\\ 0I\end{array}\right)\end{array}$$

其实也就是二阶矩阵求逆
$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{c}BC\\ DE\end{array}\right),则A^{-1}=\left(\begin{array}{c}E-C\\ -DB\end{array}\right)\end{array}$$

1.3 秩1矩阵

$$\begin{array}{rl}A& ={\left(\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right)}_{n\times n}\\ & \\ & =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\left(b_1{b}_2\cdots b_n\right)\\ & \\ & \stackrel{\Delta }{=}\alpha {\beta }^T,其中\alpha =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)\end{array}$$

1.3.1 秩1矩阵特征方程

$$\begin{array}{rl}& \mid \lambda E-A\mid =\mid \lambda E-{\alpha }_{n\times 1}{\beta }_{1\times n}^T\mid ={\lambda }^{n-1}\mid \lambda I-{\beta }_{1\times n}^T{\alpha }_{n\times 1}I\mid \\ & ={\lambda }^{n-1}(\lambda I-tr(A)),其中tr(A)=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\end{array}$$

eg

1.3.3 秩1矩阵的特征值

若n阶方针，秩为1，r(A)=1，则全体特征值为 $\lambda (A)=\{tr(A),0,...,0\}$ ，其中 $tr(A)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n={\beta }^T\alpha$

由换位公式可知，${\alpha }_{n\times 1}{\beta }_{1\times n}^T$ 与 ${\beta }_{1\times n}^T{\alpha }_{n\times 1}$ 相差 n-1 个零根，即有一个相等的非零特征根，而 ${\beta }_{1\times n}^T{\alpha }_{n\times 1}$ 为1阶矩阵，所以 ${\lambda }_1={\beta }_{1\times n}^T{\alpha }_{n\times 1}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n=tr(A)$

1.3.4 秩1矩阵特征向量

$A=\alpha {\beta }^T$ 的每个列向量都是 ${\lambda }_1=tr(A)$ 的特征向量

证明：
$$\begin{array}{r}A\alpha =(\alpha \beta )\alpha ={\lambda }_1\alpha \end{array}$$

eg

1.4 平移矩阵

$A+cI$ 称为A的平移矩阵

1.4.1 平移法

特征值

若 $\lambda (A)=\{{\lambda }_1+c,{\lambda }_2+c,...,{\lambda }_n+c\}$

特征向量

$A+cI$ 与 $A$ 有 相同的特征向量

证明：
$$\begin{array}{rl}& 令A的n个特征向量x_1,x_2,...,x_n，有\\ & \\ & A{x}_1={\lambda }_1{x}_1,A{x}_1={\lambda }_2{x}_2,...A{x}_n={\lambda }_1{x}_n\\ & \\ \iff & \{\begin{array}{r}(A+cI)x_1={\lambda }_1{x}_1+c{x}_1=({\lambda }_1+c)x_1\\ (A+cI)x_2={\lambda }_2{x}_2+c{x}_2=({\lambda }_2+c)x_2\\ \cdots \\ (A+cI)x_n={\lambda }_n{x}_n+c{x}_n=({\lambda }_n+c)x_n\end{array}\\ & \\ 故& \lambda (A)=\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n\}\end{array}$$

eg：平移法求特征向量

$$\begin{array}{rl}& (1)A-E=\left(\begin{array}{c}010\\ 010\\ 010\end{array}\right)\\ & 由秩1公式,\lambda (A-E)=\{tr(A),0,0\},\\ & 由平移公式\lambda (A)=\{tr(A-E)+1,1,1\}=\{2,1,1\}\\ & 且(A-E)与A的特征向量相等，A-E的列向量\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\\ & (2)A-E=\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 0\\ -3& -6& 0\\ -3& -6& 0\end{array}\right),\lambda (A-E)=\{-3,0,0\},\\ & 故\lambda (A)=\{-2,1,1\},A的特征向量为\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 6\end{array}\right)\end{array}$$

1.4.2 倍法

若 $\lambda (A)=\{{\lambda }_1,...,{\lambda }_n\}$ ，则 $\lambda (kA)=\{k{\lambda }_1,k{\lambda }_2,...,k{\lambda }_n,\}(k\ne 0)$

$k\lambda (A)$ 与 $\lambda (kA)$ 有相同的特征向量

1.5 平移矩阵与秩1矩阵的综合应用

$$\begin{array}{rl}& A=\left(\begin{array}{c}-1-26\\ -103\\ -1-14\end{array}\right)，A-I=\left(\begin{array}{c}-2-26\\ -1-13\\ -1-13\end{array}\right),\lambda (A-I)=\{0,0,0\}\\ & ,则\lambda (A)=\lambda (A-I)+1=\{1,1,1\}\end{array}$$

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$$\begin{array}{rl}& A=\left(\begin{array}{c}74-1\\ 47-1\\ -4-44\end{array}\right),A-3I=\left(\begin{array}{c}44-1\\ 44-1\\ -4-41\end{array}\right),\lambda (A-3I)=\{9,0,0\}\\ & \\ & \lambda (A)=\lambda (A-3I)+3=\{12,3,3\}\end{array}$$

1.6 复数域

1.6.1 复数

$C:\{z=a+bi\mid a,b\in R\}$ ，其中 $i^2=-1,\sqrt{-1}=i$

• $R\subset C$ ：实数都是复数

$若z=a+bi,则\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi$

1.6.2 复数域表示

$$\begin{array}{rl}& n维实列向量X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),x_i\in R,n维实复列向量X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),x_i\in C\\ & \\ & 列向量可表示为转置形式X={\left(x_1,x_2,...,x_n\right)}^T\\ & \\ & m\times n实矩阵R_{m\times n}=\{A=(a_{ij})\mid a_{i,j}\in R,1\le i\le m,1\le j\le n\}\\ & m\times n复矩阵C^{m\times n}=\{A=(a_{ij})\mid a_{ij}\in C,1\le i\le m,1\le j\le n\}\\ & 且R_{m\times n}\in C^{m\times n}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\in C^{m\times n}\\ & \\ & 可表示为A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n),且{\alpha }_i\in C^m\end{array}$$

1.6.3 共轭公式

由 $z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$

• 规定 $\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$ 为z的模长

模公式 $z\overline{z}=\overline{z}z=\mid z{\mid }^2=a^2+b^2$

复矩阵的共轭

$$\begin{array}{rl}& A=(a_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),\\ & \\ & A的共轭矩阵\overline{A}=(\overline{a_{ij}})=\left(\begin{array}{ccc}\overline{a_{11}}& \cdots & \overline{a_{1n}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \overline{a_{n1}}& \cdots & \overline{a_{nn}}\end{array}\right)\end{array}$$

eg：

乘后共轭=共轭后乘 ： $\overline{A\bullet B}=\overline{A}\bullet \overline{B}$

1.6.4 Hermite变换

共轭转置记为 Hemite 变换，即 $A^H={\overline{A}}^T=\overline{A^T}$ ，

$$\begin{array}{rl}& A=(a_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \ddots & \cdots \\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\in C,\\ & \overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}& \overline{a_{11}}& \cdots & \overline{a_{1n}}\\ & ⋮& \ddots & ⋮\\ & \overline{a_{m1}}& \cdots & \overline{a_{mn}}\end{array}\right)\in C\\ & X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in C_n,则X^H=(\overline{x_1},\overline{x_2},...,\overline{x_n})\end{array}$$

共轭不会使矩阵变型，转置使矩阵变型 $A\in C^{n\times p}\Rightarrow A^H\in C^{p\times n}$

eg：
$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{c}1i\\ 1i\\ 1i\end{array}\right)\in C^{3\times 2},则A^H={\left(\begin{array}{c}1-i\\ 1-i\\ 1-i\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{c}111\\ -i-i-i\end{array}\right)\in C^{2\times 3}\end{array}$$

Hermite变换性质

Hermite变换	转置
$(A^H{)}^H=A$	$(A^T{)}^T=A$
$(kA{)}^H=\overline{k}{A}^H$	$(kA{)}^T=k{A}^T$
$(A+B{)}^H=A^H+B^H$	$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
$(AB{)}^H=B^H{A}^H,(ABC{)}^H=C^H{B}^H{A}^H$	$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

实数阵的 Hermite 变换仍是其本身

定理：$a\in C是实数⟺\overline{a}=a⟺a^H=a$

Hermite变换相关的矩阵分类

Hermite变换	转置
$A^H=A$ Hermite矩阵	$A^T=A$ ，对称阵
$A^H=-A$ 斜Hermite矩阵	$A^T=-A$ ，反对称阵

Hermite矩阵性质：如果A是Hermite矩阵，则其对角线上元素全是实数
$$\begin{array}{rl}& A=\left(\begin{array}{ccccc}& a_{11}& & & \ast \\ & & a_{22}& & \\ & & & \ddots & \\ & \ast & & & a_{nn}\end{array}\right),\\ & 而A^H=\left(\begin{array}{ccccc}& \overline{a_{11}}& & & \ast \\ & & \overline{a_{22}}& & \\ & & & \ddots & \\ & \ast & & & \overline{a_{nn}}\end{array}\right),Hermite矩阵A^H=A\\ & a_{11}=\overline{a_{11}},a_{22}=\overline{a_{22}},...,a_{nn}=\overline{a_{nn}},可见Hermite矩阵对角线元素是实数\end{array}$$

1.6.5 模长

模长性质

1. $\mid z\mid =\mid \overline{z}\mid$
2. $\mid kz\mid =k\mid z\mid ,k\in C$
3. $\mid z_1+z_2\mid \le \mid z_1\mid +\mid z_2\mid$
4. $\overline{z_1\bullet z_2}=\overline{z_1}\bullet \overline{z_2}$

复向量模长

列向量模长

$$\begin{array}{rl}& X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in C,则其模长\mid X\mid =\sqrt{\mid x_1{\mid }^2+\mid x_2{\mid }^2+\cdots \mid x_n{\mid }^2}\end{array}$$

区分 ：复数的模平方和复数平方的模

• 复数的模平方 $\mid x_1{\mid }^2=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\ge 0$
• 复数平方的模：$\mid x_1^2\mid =(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$

模长性质

$\mid k\bullet X\mid =\mid k\mid \bullet \mid X\mid ,k\in C$

$|\frac{X}{k}|=\frac{|X|}{|k|},(k\ne 0)$

$|X\pm Y|\le |X|+|Y|$

模平方公式

$$\begin{array}{rl}& 令X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in C,则\{\begin{array}{rl}& ①X^{H}X=\mid X{\mid }^2\\ & \\ & ②tr(X^{H}X)=tr(X{X}^H)=\mid X{\mid }^2\end{array},其中\\ & \mid X{\mid }^2=\mid x_1{\mid }^2+\mid x_2{\mid }^2+\cdots +\mid x_n{\mid }^2=\sum _{i=1}^n\mid x_i{\mid }^2\end{array}$$

eg
$$\begin{array}{rl}& X=\left(\begin{array}{c}1\\ i\\ 1\end{array}\right)\in C^3,X{X}^H=\left(\begin{array}{c}1\\ i\\ 1\end{array}\right)(1-i1)=\left(\begin{array}{cccc}& 1& & \ast \\ & & 1& \\ & \ast & & 1\end{array}\right)\\ & \therefore tr(X^{H}X)=tr(X{X}^H)=|1{|}^2+|-i^2{|}^2+|1{|}^2=3\end{array}$$

复矩阵模长

$$\begin{array}{rl}& 令A=(a_{ij})\in C,则模长(矩阵的F范数)\mid \mid A\mid \mid =\sqrt{\sum _{i=1}^n\mid a_{ij}{\mid }^2}\end{array}$$

复矩阵的模平方公式

$$\begin{array}{rl}& 设A=(a_{ij}{)}_{n\times p},则tr(A^{H}A)=tr(A{A}^H)=\mid \mid A\mid \mid =\sum _{i=1}^n\mid a_{ij}{\mid }^2\end{array}$$

eg
$$\begin{array}{r}X=\left(\begin{array}{c}1\\ i\\ 1\end{array}\right)\in C^{3\times 1},则\mid X{\mid }^2=X^{H}X=(1,-i,1)\left(\begin{array}{c}1\\ i\\ 1\end{array}\right)=1+-i^2+1=3\end{array}$$
对于方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ ，有
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& tr(A)\stackrel{\Delta }{=}{a}_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\\ & det(A)=\mid A\mid =\prod _{i=1}^n{\lambda }_i\end{array}\end{array}$$

1.6.7 $A^{H}A$ 型Hermite矩阵

任一矩阵 $A_{n\times p}，A^{H}A与A{A}^H$ 都是Hermite矩阵
$$\begin{array}{rl}& (A^{H}A{)}^H=A^{H}A,(A{A}^H{)}^H=A\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& A_{n\times p}=\left(\begin{array}{cccc}& a_{11}& \cdots & a_{1p}\\ & ⋮& \ddots & ⋮\\ & a_{n1}& \cdots & a_{np}\end{array}\right)\in C^{n\times p},\\ & A_{p\times n}^H=\left(\begin{array}{cccc}& \overline{a_{11}}& \cdots & \overline{a_{n1}}\\ & ⋮& \ddots & ⋮\\ & \overline{a_{1p}}& \cdots & \overline{a_{np}}\end{array}\right)\in C^{p\times n}\\ & A{A}^H=\left(\begin{array}{cccc}& a_{11}& \cdots & a_{1p}\\ & ⋮& \ddots & ⋮\\ & a_{n1}& \cdots & a_{np}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}& \overline{a_{11}}& \cdots & \overline{a_{n1}}\\ & ⋮& \ddots & ⋮\\ & \overline{a_{1p}}& \cdots & \overline{a_{np}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccccc}& a_{11}\overline{a_{11}}+a_{12}\overline{a_{12}}+\cdots +a_{1p}\overline{a_{1p}}& & & \ast \\ & & a_{21}\overline{a_{21}}+a_{22}\overline{a_{22}}+\cdots +a_{2p}\overline{a_{2p}}& & \\ & & & \ddots & \\ & \ast & & & a_{n1}\overline{a_{n1}}+a_{n2}\overline{a_{n2}}+\cdots +a_{np}\overline{a_{np}}\end{array}\right)\end{array}$$

$A^{H}A$ 矩阵的迹

$$\begin{array}{rl}& tr(A^{H}A)=tr(A{A}^H)=\\ & (\mid a_{11}{\mid }^2+\mid a_{12}{\mid }^2+...+\mid a_{1p}{\mid }^2)+(\mid a_{21}{\mid }^2+\mid a_{22}{\mid }^2+...+\mid a_{2p}{\mid }^2)+\\ & ...+(\mid a_{n1}{\mid }^2+\mid a_{n2}{\mid }^2+...+\mid a_{np}{\mid }^2)=\sum _{i=1,j=1}^{i=n,j}\mid a_{ij}{\mid }^2\end{array}$$

推论

$tr(A{B}^H)=tr(B^{H}A)=\sum a_{ij}\overline{b_{i}j}$

• 将 A B 矩阵按列分块，可验证 $tr(B^{H}A)$
  $$\begin{array}{rl}& A=({\alpha }_1,{\alpha }_2),B=({\beta }_1,{\beta }_2),B^H=\left(\begin{array}{c}{\overline{{\beta }_1}}^T\\ {\overline{{\beta }_2}}^T\end{array}\right)\\ & B^{H}A=\left(\begin{array}{c}{\overline{{\beta }_1}}^T\\ {\overline{{\beta }_2}}^T\end{array}\right)({\alpha }_1,{\alpha }_2)=\left(\begin{array}{ccc}& {\overline{{\beta }_1}}^T{\alpha }_1& {\overline{{\beta }_1}}^T{\alpha }_2\\ & {\overline{{\beta }_2}}^T{\alpha }_1& {\overline{{\beta }_2}}^T{\alpha }_2\end{array}\right)\\ & tr(B^{H}A)={\overline{{\beta }_1}}^T{\alpha }_1+{\overline{{\beta }_2}}^T{\alpha }_2=\\ & (a_{11}\overline{b_{11}}+a_{21}\overline{b_{21}}+a_{31}\overline{b_{31}})+(a_{12}\overline{b_{12}}+a_{22}\overline{b_{22}}+a_{32}\overline{b_{32}})\\ & =\sum a_{ij}\overline{b_{ij}}\end{array}$$

• 将 A B矩阵按行分块，可验证 $tr(A{B}^H)$
  A = ( α 1 α 2 α 3 ) , B = ( β 1 β 2 β 3 ) ， B H = ( β 1 ‾ T , β 2 ‾ T , β 3 ‾ T ) A B H = ( α 1 α 2 α 3 ) ( β 1 ‾ T , β 2 ‾ T , β 3 ‾ T ) = ( α 1 β 1 ‾ T α 1 β 2 ‾ T α 1 β 3 ‾ T α 2 β 1 ‾ T α 2 β 2 ‾ T α 3 β 3 ‾ T α 3 β 1 ‾ T α 3 β 2 ‾ T α 3 β 3 ‾ T ) t r ( A B H ) = ( a 11 b 11 ‾ + a 12 b 12 ‾ ) + ( a 21 b 21 ‾ + a 22 b 22 ‾ ) + ( a 31 b 31 ‾ + a 32 b 32 ‾ ) = ∑ a i j b i j ‾ \begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3 \end{matrix} \right), B=\left( \begin{matrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \beta_3 \end{matrix} \right)，B^H=(\overline{\beta_1}^T,\overline{\beta_2}^T,\overline{\beta_3}^T)\\ &AB^H=\left( \begin{matrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3 \end{matrix} \right)(\overline{\beta_1}^T,\overline{\beta_2}^T,\overline{\beta_3}^T)=\left( \begin{matrix} &\alpha_1\overline{\beta_1}^T\quad&\alpha_1\overline{\beta_2}^T\quad&\alpha_1\overline{\beta_3}^T\\ &\alpha_2\overline{\beta_1}^T\quad&\alpha_2\overline{\beta_2}^T\quad&\alpha_3\overline{\beta_3}^T\\ &\alpha_3\overline{\beta_1}^T\quad&\alpha_3\overline{\beta_2}^T\quad&\alpha_3\overline{\beta_3}^T \end{matrix} \right)\\ &tr(AB^H)=(a_{11}\overline{b_{11}}+a_{12}\overline{b_{12}})+(a_{21}\overline{b_{21}}+a_{22}\overline{b_{22}})+(a_{31}\overline{b_{31}}+a_{32}\overline{b_{32}})\\ &\quad\quad\quad\quad = \sum a_{ij}\overline{b_{ij}} \end{aligned} ​A=⎝ ⎛​α1​α2​α3​​⎠ ⎞​,B=⎝ ⎛​β1​β2​β3​​⎠ ⎞​，BH=(β1​​T,β2​​T,β3​​T)ABH=⎝ ⎛​