坐标系变换矩阵推导

坐标系的变换矩阵推导

1.平移变换

  假设存在点(x,y,z)，将x移动a，y移动b，z移动c，到新的点$(x^{{}^{\prime }},y^{{}^{\prime }},z^{{}^{\prime }})$，则：
$x^{{}^{\prime }}=x+a$
$y^{{}^{\prime }}=y+b$
$z^{{}^{\prime }}=y+c$
  写成矩阵形式：
$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ z^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a\\ 0& 1& 0& b\\ 0& 0& 1& c\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$

  中间4x4的矩阵叫变换矩阵。可见，如果要平移坐标，要将坐标维度增加1，变成齐次坐标（齐次坐标（homogeneous coordinates）就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，常用于投影几何）。

  在计算机图形学中，为了实现平移、旋转、缩放等图像操作，需要用到齐次坐标。

例1：世界坐标系wor相对相机坐标系cam的x、y、z分别平移了10，20，30，求次变换齐次矩阵。

$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ z^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 10\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 20\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 30\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 10\\ 0& 1& 0& 20\\ 0& 0& 1& 30\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$

三个分量矩阵位置可以交换，因为是独立变量，互不影响。
所以，平移齐次矩阵为：$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 10\\ 0& 1& 0& 20\\ 0& 0& 1& 30\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

旋转变换有两种，一种是向量在当前坐标系内的旋转，一种是坐标系的旋转。

2. 坐标系旋转变换：由固定坐标系旋转到另一个坐标系。

  旋转变换有两种，一种是向量在当前坐标系内的旋转，一种是坐标系的旋转。这里推导坐标系旋转矩阵。

（1） 绕X轴旋转（逆时针）$\alpha$：

方程为：
$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x,\\ y^{\prime }=ycos\alpha +zsin\alpha ,\\ z^{\prime }=-ysin\alpha +zcos\alpha \end{array}$

写成矩阵形式：
$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ z^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\alpha & sin\alpha & 0\\ 0& -sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$

（2） 绕Y轴旋转（逆时针）$\beta$：

方程为：
$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime \prime }=x^{\prime }cos\beta +z^{\prime }sin\beta ,\\ y^{\prime \prime }=y^{\prime },\\ z^{\prime \prime }=-x^{\prime }sin\beta +z^{\prime }cos\beta \end{array}$

写成矩阵形式：
$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime \prime }}\\ y^{{}^{\prime \prime }}\\ z^{{}^{\prime \prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}cos\beta & 0& sin\beta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\alpha & 0& cos\beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]$

（3）绕Z轴旋转（逆时针）$\gamma$：

方程为：
$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime \prime \prime }=x^{\prime \prime }cos\gamma +y^{\prime \prime }sin\gamma ,\\ y^{\prime \prime \prime }=-x^{\prime \prime }sin\gamma +y^{\prime \prime }cos\beta ,\\ z^{\prime \prime \prime }=z^{\prime \prime }\end{array}$

写成矩阵形式：
$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime \prime \prime }}\\ y^{{}^{\prime \prime \prime }}\\ z^{{}^{\prime \prime \prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}cos\gamma & sin\gamma & 0& 0\\ -sin\gamma & cos\gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\\ z^{\prime \prime }\\ 1\end{array}\right]$

所以，坐标轴分别依次绕x，y，z轴旋转$\alpha$,$\beta$,$\gamma$的变换矩阵（前后用左乘来连接）：

$R=R_z(\gamma )R_y(\beta )R_x(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}cos\gamma & sin\gamma & 0& 0\\ -sin\gamma & cos\gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccc}cos\beta & 0& sin\beta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\alpha & 0& cos\beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\alpha & sin\alpha & 0\\ 0& -sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$